Lösung Abitur Bayern 2014 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil A 1a (2 BE)

Die Vektoren

\vec{a} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

\vec{b} = (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})

und

\vec{c_{t}} = (\begin{matrix} 4 t \\ 2 t \\ - 5 t \end{matrix})

spannen für jeden Wert von

t

mit

t \in ℝ ∖ {0}

einen Körper auf. Die Abbildung zeigt den Sachverhalt beispielhaft für einen Wert von

t

Zeigen Sie, dass die aufgespannten Körper Quader sind.

Lösung zu Teilaufgabe Teil A 1a

Skalarprodukt

\vec{a} \circ \vec{b} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) = - 2 + 2 + 0 = 0

\Rightarrow

\vec{a} ⊥ \vec{b}

\vec{a} \circ \vec{c_{t}} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 4 t \\ 2 t \\ - 5 t \end{matrix}) = 8 t + 2 t - 10 t = 0

\Rightarrow

\vec{a} ⊥ \vec{c_{t}}

\vec{b} \circ \vec{c_{t}} = (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 4 t \\ 2 t \\ - 5 t \end{matrix}) = - 4 t + 4 t + 0 = 0

\Rightarrow

\vec{b} ⊥ \vec{c_{t}}

Schritt einblenden / ausblenden

Die Vektoren

\vec{a}

\vec{b}

und

\vec{c_{t}}

stehen jeweils senkrecht aufeinander. Die aufgespannten Körper sind somit alle Quader.

Alternative Lösung

\vec{a} \circ \vec{b} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) = - 2 + 2 + 0 = 0

\Rightarrow

\vec{a} ⊥ \vec{b}

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 4 \\ - 2 \\ 5 \end{matrix}) = \vec{c_{t}}

für

(t = - 1)

\Rightarrow

\vec{c_{t}} ⊥ \vec{a}, \vec{b}

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Teilaufgabe Teil B b

Teilaufgabe Teil B c

Teilaufgabe Teil B d

Teilaufgabe Teil B e

Teilaufgabe Teil B f

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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