Lösung Abitur Bayern 2014 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B c (5 BE)

Die Dachfläche, auf der die Dachgaube errichtet wird, liegt im Modell in der Ebene

E : 3 x_{1} + 4 x_{3} - 44 = 0

.

Die Dachgaube soll so errichtet werden, dass sie von dem seitlichen Rand der Dachfläche, der im Modell durch die Strecke

[H C]

dargestellt wird, den Abstand

2

m und vom First des Dachs den Abstand

1

m hat. Zur Ermittlung der Koordinaten des Punkts

M

wird die durch den Punkt

T (4 | 8 | 8)

verlaufende Gerade

t : \vec{X} = (\begin{matrix} 4 \\ 8 \\ 8 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ - 3 \end{matrix})

λ \in ℝ

, betrachtet.

Begründen Sie, dass

t

in der Ebene

E

verläuft und von der Geraden

H C

den Abstand

2

besitzt.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B c

Lagebeziehung Gerade und Ebene

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

E : 3 x_{1} + 4 x_{3} - 44 = 0

\Rightarrow

\vec{n_{E}} = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})

t : \vec{X} = (\begin{matrix} 4 \\ 8 \\ 8 \end{matrix}) + λ \cdot \underset{\vec{R V}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ - 3 \end{matrix})}}

λ \in ℝ

Skalarprodukt zwischen Normalenvektor der Ebene

E

und Richtungsvektor

\vec{R V}

der Geraden

t

bilden:

Schritt einblenden / ausblenden

\vec{n_{E}} \circ \vec{R V} = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ - 3 \end{matrix}) = 12 + 0 - 12 = 0

\Rightarrow

\vec{n_{E}} ⊥ \vec{R V}

Da der Normalenvektor der Ebene

E

senkrecht auf den Richtungsvektor der Geraden

t

steht und die Gerade durch den Punkt

T

(der in der Ebene

E

liegt) verläuft, verläuft

t

in der Ebene

E

Alternative Lösung

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Ebene

E

und Gerade

t

schneiden:

E \cap t

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

t

wird in

E

eingesetzt und die Gleichung wird nach

λ

aufgelöst.

\begin{matrix} E \cap t : & 3 \cdot (4 + 4 λ) + 4 \cdot (8 - 3 λ) - 44 & = & 0 \\ 12 + 12 λ + 32 - 12 λ - 44 & = & 0 \\ 0 & = & 0 \end{matrix}

Schritt einblenden / ausblenden

Lagebeziehung von Ebene und Gerade

Mögliche Lagen einer Gerade zu einer Ebene:
enthalten, parallel, Schnitt (Schnittpunkt)

Überprüfung: Ebene und Gerade scheiden.

Möglichkeiten:

Parameter bleibt stehen (z.B.

λ = 1

)

\Rightarrow

Schnittpunkt

Parameter fällt weg und die Aussage ist wahr (z.B. 0 = 0)

\Rightarrow

Gerade ist in der Ebene enthalten

Parameter fällt weg und die Aussage ist falsch (z.B. 2 = 1)

\Rightarrow

Gerade liegt parallel zur Ebene

\Rightarrow

t

ist in

E

enthalten

(t \subset E)

Abstand paralleler Geraden

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Richtungsvektoren der Geraden

t

und

H C

vergleichen:

Schritt einblenden / ausblenden

Richtungsvektor

Der Richtungsvektor (RV) der Gerade

t

ist gleich dem Richtungsvektor der Geraden

H C

. Somit sind die Geraden parallel.

{\vec{R V}}_{t} = \vec{H C} = (\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ - 3 \end{matrix})

\Rightarrow

t ∥ H C

Da die Punkte

T

und

H

auf der Geraden

G H

liegen, gilt für den Abstand der parallelen Geraden

t

und

H C

d (t, H C) = | \vec{H T} | = | \vec{T} - \vec{H} | = | (\begin{matrix} 4 \\ 8 \\ 8 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 4 \\ 10 \\ 8 \end{matrix}) | = | (\begin{matrix} 0 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix}) | = \sqrt{0 + 4 + 0} = 2

Alternative Lösung

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

d (t, H C) = d (T, H C)

Schritt einblenden / ausblenden

Abstand zweier Geraden

Sind zwei Geraden

g

und

h

parallel, so ist ihr Abstand gleich dem Abstand von einem beliebigen Punkt

P

auf einer der Geraden zu der anderen Geraden.

Ist z.B.

P

ein Punkt auf der Gerade

g

, so gilt:

d (g; h) = d (P, h)

Abstand von

T

H C

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Hilfsebene

Um den Abstand zwischen einer Geraden

g

und einen Punkt

M

bestimmen zu können, bildet man eine Hilfsebene

H

die den Punkt

M

beinhaltet und senkrecht zur Geraden

g

steht.

Diese Ebene schneidet dann die Gerade

g

in einem Punkt

F

. Der Abstand entspricht dann der Länge der Strecke

[M F]

Hilfsebene

E^{'}

durch

H

senkrecht zu

H C

aufstellen:

Schritt einblenden / ausblenden

Normalenform einer Ebene

Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt

P

aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt.

E : \vec{n_{E}} \circ \vec{X} = \vec{n_{E}} \circ \vec{P}

Hier (

H

ist Aufpunkt und

\vec{n_{E^{'}}} = \vec{H C}

E^{'} : \underset{\vec{H C}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ - 3 \end{matrix})}} \circ \vec{X} = (\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ - 3 \end{matrix}) \circ \underset{\vec{H}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 4 \\ 10 \\ 8 \end{matrix})}}

E^{'} : 4 x_{1} - 3 x_{3} = 16 + 0 - 24

E^{'} : 4 x_{1} - 3 x_{3} + 8 = 0

Hilfsebene

E^{'}

und Gerade

t

schneiden:

E^{'} \cap t

Schritt einblenden / ausblenden

Schnitt Ebene und Gerade

Schneidet eine Gerade

g : \vec{X} = \vec{Q} + λ \cdot \vec{v}

eine Ebene

E

in einem Punkt

P

, dann erfüllt die Geradengleichung für ein bestimmten Wert von

λ

(von

g

) die Normalenform der Ebene

E

.

Man setzt

g

E

ein und löst nach

λ

auf.

\begin{matrix} E^{'} \cap t : & 4 \cdot (4 + 4 λ) - 3 \cdot (8 - 3 λ) + 8 & = & 0 \\ 16 + 16 λ - 24 + 9 λ + 8 = 0 & = & 0 \\ 25 λ & = & 0 \\ λ & = & 0 \end{matrix}

λ = 0

t

einsetzen und Schnittpunkt

F

bestimmen:

\vec{F} = (\begin{matrix} 4 \\ 8 \\ 8 \end{matrix}) + 0 \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ - 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 8 \\ 8 \end{matrix})

F (4 | 8 | 8)

Der Schnittpunkt

F

ist gleich dem Punkt

T

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

d (t, H) = d (T; H) = | \vec{T H} | = | (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) | = \sqrt{0 + 4 + 0} = 2

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Teilaufgabe Teil B d

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Themen dieser Aufgabe:

Lagebeziehung Gerade und Ebene

Alternative Lösung

Abstand paralleler Geraden

Alternative Lösung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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