Lösung Abitur Bayern 2011 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3.2 (5 BE)

Die Graphen der Funktionen

f

(aus Aufgabe 1) und

p

schließen drei Flächenstücke ein. Berechnen Sie die Maßzahl desjenigen Flächenstücks, das den Ursprung enthält, auf zwei Nachkommastellen genau.

Lösung zu Teilaufgabe 3.2

Flächenberechnung

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Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

Verläuft der Graph einer Funktion

f

oberhalb dem Graphen einer Funktion

g

, so ist der Inhalt eines Flächenstücks zwischen den zwei Funktionsgraphen

G_{f}

und

G_{g}

gegeben durch:

A = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) dx

Sind die Integrationsgrenzen

a

und

b

nicht explizit vorgegeben, so verwendet man hierfür die Schnittpunkte der beiden Graphen

G_{f}

und

G_{g}

A = \int_{- \sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (p (x) - f (x)) dx

A = \int_{- \sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (- \frac{1}{3} x^{2} + 1 - (- \frac{1}{9} x^{4} + \frac{4}{3} x^{2} - 3)) dx

A = \int_{- \sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (\frac{1}{9} x^{4} - \frac{5}{3} x^{2} + 4) dx

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Stammfunktion

Rechenregeln für Integrale

Benötigte Regel zur Bildung der Stammfunktion von

\frac{1}{9} x^{4} - \frac{5}{3} x^{2} + 4

(siehe auch Merkregel Mathematik):

\int x^{r} dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C

(r \neq - 1)

\Rightarrow

\int (\frac{1}{9} x^{4} - \frac{5}{3} x^{2} + 4) dx = \frac{1}{9} \cdot \frac{x^{4 + 1}}{4 + 1} - \frac{5}{3} \cdot \frac{x^{2 + 1}}{2 + 1} + 4 \cdot \frac{x^{0 + 1}}{0 + 1} = \frac{1}{45} x^{5} - \frac{5}{9} x^{3} + 4 x

A = {[\frac{1}{45} x^{5} - \frac{5}{9} x^{3} + 4 x]}_{- \sqrt{3}}^{\sqrt{3}}

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Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, dann ist

F^{'} = f

und es gilt:

\int_{a}^{b} f (x) dx = {[F (x)]}_{a}^{b} = F (b) - F (a)

A = (\frac{1}{45} \cdot {(\sqrt{3})}^{5} - \frac{5}{9} \cdot {(\sqrt{3})}^{3} + 4 \cdot \sqrt{3}) - (\frac{1}{45} \cdot {(- \sqrt{3})}^{5} - \frac{5}{9} \cdot {(- \sqrt{3})}^{3} + 4 \cdot (- \sqrt{3}))

A \approx 8, 78

Alternative Lösung

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Aus der Symmetrie der Graphen, folgt:

A = \int_{- \sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (\frac{1}{9} x^{4} - \frac{5}{3} x^{2} + 4) dx = 2 \cdot \int_{0}^{\sqrt{3}} (\frac{1}{9} x^{4} - \frac{5}{3} x^{2} + 4) dx

Und somit:

A = 2 \cdot {[\frac{1}{45} x^{5} - \frac{5}{9} x^{3} + 4 x]}_{0}^{\sqrt{3}} = 2 \cdot (0 - (\frac{1}{45} \cdot {(- \sqrt{3})}^{5} - \frac{5}{9} \cdot {(- \sqrt{3})}^{3} + 4 \cdot (- \sqrt{3})))

A \approx 2 \cdot 4, 39 = 8, 78

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