Lösung Abitur Bayern 2011 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1.3 (6 BE)

Bestimmen Sie die maximalen Intervalle, in denen der Graph der Funktion

f

rechts- bzw. linksgekrümmt ist und berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte.

Lösung zu Teilaufgabe 1.3

Krümmungsverhalten einer Funktion

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Mögliche Wendestelle(n) bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Notwendige Bedingung

Folgende notwendige Bedingung muss für einen Wendepunkt an der Stelle

x^{WP}

erfüllt sein:

f^{''} (x^{WP}) = 0

daher immer der Ansatz:

f^{''} (x) = 0

f^{''} (x) = 0

\Leftrightarrow

- \frac{4}{3} x^{2} + \frac{8}{3} = 0

- \frac{4}{3} x^{2} = - \frac{8}{3}

x^{2} = 2

\Rightarrow

x_{1, 2}^{WP} = \pm \sqrt{2}

Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung an den Stellen

x = \pm \sqrt{2}

mithilfe einer Skizze bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Parabel

Der Graph der zweiten Ableitung ist eine nach unten geöffnete Parabel (negativer Leitkoeffizient). Sie schneidet die

x

-Achse bei

x = \pm \sqrt{2}

Skizze von

f^{''}

Schritt einblenden / ausblenden

Funktionswert

Dort wo der Graph oberhalb der

x

-Achse liegt, hat die Funktion, also in diesem Fall die zweite Ableitung, positive Funktionswerte und somit positives Vorzeichen.

Dort wo der Graph unterhalb der

x

-Achse liegt, hat die Funktion negative Funktionswerte und somit negatives Vorzeichen.

f^{''} (x) > 0

für

x \in] - \sqrt{2}; \sqrt{2} [

f^{''} (x) < 0

für

x \in] - \infty; - \sqrt{2} [\cup] \sqrt{2}; + \infty [

Schritt einblenden / ausblenden

Krümmungsverhalten einer Funktion

Das Vorzeichen der zweiten Ableitung gibt Aufschluss über das Krümmungsverhalten des Graphen.

Es gilt:

Ist die zweite Ableitung einer Funktion

f

negativ auf einem Intervall

] a, b [

, d.h.

f^{''} (x) < 0

für

x \in] a; b [

, so ist der Graph der Funktion

G_{f}

im Intervall

[a; b]

rechtsgekrümmt.

Ist die zweite Ableitung einer Funktion

f

positiv auf einem Intervall

] a, b [

, d.h.

f^{''} (x) > 0

für

x \in] a; b [

, so ist der Graph der Funktion

G_{f}

im Intervall

[a; b]

linksgekrümmt.

Ist die zweite Ableitung einer Funktion

f

gleich Null an einer Stelle

x^{WP}

, d.h.

f^{''} (x^{WP}) = 0

, und findet ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung an dieser Stelle statt, so liegt ein Wendepunkt an der Stelle

x^{WP}

vor.

\Rightarrow

G_{f}

ist linksgekrümmt für

x \in [- \sqrt{2}; \sqrt{2}]

\Rightarrow

G_{f}

ist rechtsgekrümmt für

x \in] - \infty; - \sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; + \infty [

Wendepunkt ermitteln

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Lage der Wendepunkte bestimmen:

y^{WP} = f (x^{WP}) = f (- \sqrt{2}) = f (\sqrt{2}) = - \frac{7}{9}

(wg. Symmetrie s. 1.1)

Schritt einblenden / ausblenden

Wendepunkt

Ist die zweite Ableitung einer Funktion

f

gleich Null an einer Stelle

x^{WP}

, d.h.

f^{''} (x^{WP}) = 0

, und findet ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung an dieser Stelle statt, so liegt ein Wendepunkt an der Stelle

x^{WP}

vor.

Da sich an den Stellen

x = \pm \sqrt{2}

das Krümmungsverhalten ändert, sind

{WP}_{1} (- \sqrt{2} | - \frac{7}{9})

und

{WP}_{2} (\sqrt{2} | - \frac{7}{9})

Wendepunkte.

Alternative Lösung

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Wendepunkte mittels dritter Ableitung ermitteln:

f^{'''} (x) = - \frac{8}{3} x

Schritt einblenden / ausblenden

Wendepunkt

Ist die zweite Ableitung einer Funktion

f

gleich Null an einer Stelle

x^{WP}

, d.h.

f^{''} (x^{WP}) = 0

, und ist die dritte Ableitung ungleich Null an dieser Stelle, d.h.

f^{'''} (x^{WP}) \neq 0

, so liegt ein Wendepunkt an der Stelle

x^{WP}

vor.

f^{'''} (- \sqrt{2}) = \frac{8}{3} \sqrt{2} \neq 0

\Rightarrow

{WP}_{1} (- \sqrt{2} | - \frac{7}{9})

ist Wendepunkt

f^{'''} (\sqrt{2}) = - \frac{8}{3} \sqrt{2} \neq 0

\Rightarrow

{WP}_{2} (\sqrt{2} | - \frac{7}{9})

ist Wendepunkt

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Teilaufgabe 5.1

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Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Krümmungsverhalten einer Funktion

Wendepunkt ermitteln

Alternative Lösung

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