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Lösung Abitur Bayern 2011 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A II

zur Angabe dieser Abituraufgabe
Teilaufgabe 2.2  (6 BE)
Bestimmen Sie nur mithilfe der Ergebnisse aus 2.1 die Anzahl und Vielfachheiten der Nullstellen von f a in Abhängigkeit von a .
 
Lösung zu Teilaufgabe 2.2
Vielfachheit von Nullstellen



Fallunterscheidung:
Schritt einblenden / ausblenden
Man betrachtet die y -Koordinaten der Extrempunkte:

1. Fall: Die Hochpunkte liegen unterhalb der x-Achse

y a , 2 E < 0
4 - a < 0
4 < a
⇒ keine Nullstellen


2. Fall: Die Hochpunkte liegen genau auf der x-Achse

y a , 2 E = 0
4 - a = 0
4 = a
⇒ zwei doppelte Nullstellen


3. Fall: Die Hochpunkte liegen oberhalb, der Tiefpunkt
aber unterhalb der x-Achse

y a , 2 E > 0 und y a , 1 E < 0
4 - a > 0 und - a < 0
4 > a und a > 0 , also 0 < a < 4
⇒ vier einfache Nullstellen


4. Fall: Der Tiefpunkt liegt genau auf der x-Achse

y a , 1 E = 0
- a = 0
a = 0
⇒ nicht möglich wegen a ∈ ℝ +


5. Fall: Der Tiefpunkt liegt oberhalb der x-Achse

y a , 1 E > 0
- a > 0
a < 0
⇒ nicht möglich wegen a ∈ ℝ +
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Themen dieser Aufgabe:
Vielfachheit von Nullstellen
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