Lösung Abitur Bayern 2011 G9 Abitur Mathematik GK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3d (4 BE)

Ermitteln Sie die Gleichung einer Geraden, die parallel zur Ebene

E

verläuft und von dieser den Abstand

3

hat.

Lösung zu Teilaufgabe 3d

Geradengleichung aufstellen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

\vec{A B} = (\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})

ist ein Richtungsvektor der Ebene

E

(siehe Teilaufgabe 1b).

\vec{A B}

ist somit auch Richtungsvektor einer zu

E

parallelen Gerade

g

.

Sei

P (0 | 0 | x_{3})

ein Punkt auf der

x_{3}

-Achse mit Abstand 3 zur Ebene

E

Schritt einblenden / ausblenden

Abstand Punkt - Ebene

Durch Einsetzen der Koordinaten eines Punktes

P

in die Hesse-Normalenform

E^{H N F}

der Ebene

E

(zwischen Betragsstriche), bestimmt man den Abstand des Punktes zur Ebene.

E^{H N F} : \frac{\vec{X} \circ \vec{n_{E}} - d}{| \vec{n_{E}} |} = 0

\Rightarrow d (P, E) = | \frac{\vec{P} \circ \vec{n_{E}} - d}{| \vec{n_{E}} |} |

d

ist das Ergebnis des Skalarprodukts aus

\vec{n_{E}}

und dem Ortsvektor des Aufpunkts von

E

d (P, E) = 3 \Leftrightarrow | \frac{1}{3} \cdot (2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + x_{3} - 6) | = 3

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Die Betragsstriche können in diesem Fall weggelassen werden, da es nicht wichtig ist auf welcher Seite der Ebene der Punkt

P

liegt.

\frac{1}{3} \cdot (2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + x_{3} - 6) = 3

x_{3} - 6 = 9

\Rightarrow x_{3} = 15

\Rightarrow P (0 | 0 | 15)

Mit

\vec{P}

als Ortsvektor (des Aufpunkts) der Geraden

g

, lautet die Geradengleichung:

g : \vec{X} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 15 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})

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Teilaufgabe 3d

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Geradengleichung aufstellen

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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