Lösung Abitur Bayern 2011 G9 Abitur Mathematik GK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2b (8 BE)

An welchem Punkt muss gestartet werden, wenn der geradlinige Weg zum Gipfel auf der Südseite verlaufen und möglichst kurz sein soll?
Bestimmen Sie im Geländemodell die Koordinaten dieses Punkts sowie den Neigungswinkel

φ

des zugehörigen Wegs gegen die

x_{1} x_{2}

-Ebene.

Lösung zu Teilaufgabe 2b

Geradengleichung aufstellen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Der gesuchte Startpunkt liegt auf der Strecke

[A C]

und ist der Fußpunkt des Lotes vom Punkt

S

auf die Gerade

A C

A (3 | 0 | 0)

C (- 3 | - 3 | 0)

Gerade

A C

bestimmen:

\vec{C A} = (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})

ist Richtungsvektor der Geraden

A C

.

Gleichung der Geraden

A C

Schritt einblenden / ausblenden

Geradengleichung

Eine Gerade

g

ist durch einen Ortsvektor

\vec{P}

und einen Richtungsvektor

\vec{v}

eindeutig bestimmt:

g : \vec{X} = \vec{P} + λ \cdot \vec{v}

μ \in ℝ

Wenn

A

als Aufpunkt genommen wird, dann ist

\vec{A}

der Ortsvektor (des Aufpunkts) der Geraden

A C

A C : \vec{X} = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})

Lotfußpunkt auf eine Gerade

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

S (0 | 0 | 6)

Schritt einblenden / ausblenden

Hilfsebene

Um den Punkt

D

des Lotes von

S

auf

A C

zu bestimmen, bildet man zuerst eine Hilfsebene, die durch

S

geht und senkrecht zu

A C

steht. Diese Ebene scheidet somit die Gerade

A C

im Lotfußpunkt

D

Hilfsebene

H

durch

S

senkrecht zu

A C

aufstellen:

Schritt einblenden / ausblenden

Ebenengleichung

Eine Ebene

H

ist durch einen Punkt

P

und einen Normalenvektor

\vec{n_{H}}

eindeutig bestimmt. Die Ebenengleichung (in Normalenform) lautet:

H^{N} : [\vec{X} - \vec{P}] \circ \vec{n_{H}} = 0

Hier ist der Normalenvektor gleich dem Richtungsvektor der Geraden

A C

, da die Ebene senkrecht zu ihr stehen soll:

\vec{n_{H}} = \vec{A C}

H^{N} : [\vec{X} - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{matrix})] \circ (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) = 0

H^{N} : 6 x_{1} + 3 x_{2} = 0

Hilfsebene

H

mit der Geraden

A C

schneiden:

H \cap A C

Schritt einblenden / ausblenden

Schnitt Ebene und Gerade

Schneidet eine Gerade

g : \vec{X} = \vec{Q} + λ \cdot \vec{v}

eine Ebene

E

in einem Punkt

P

, dann erfüllt die Geradengleichung für ein bestimmten Wert von

λ

(von

g

) die Normalenform der Ebene

E

.

Man setzt

g

E^{N}

ein und löst nach

λ

auf.

Hier wird also

A C

H^{N}

eingesetzt und nach

λ

aufgelöst.

A C : \vec{X} = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) \Leftrightarrow \begin{matrix} x_{1} = 3 + 6 λ \\ x_{2} = 3 λ \\ x_{3} = 0 \end{matrix}

H^{N}

einsetzen:

6 \cdot (3 + 6 λ) + 3 \cdot 3 λ = 0

18 + 36 λ + 9 λ = 0

45 λ = - 18

\Rightarrow λ = - \frac{18}{45} = - \frac{2}{5}

λ = - \frac{2}{5}

in die Geradengleichung einsetzen und Lotfußpunkt

D

bestimmen:

\vec{D} = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) - \frac{2}{5} \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{3}{5} \\ - \frac{6}{5} \\ 0 \end{matrix})

\Rightarrow

Der Lotfußpunkt, und somit der Startpunkt, hat die Koordinaten

D (\frac{3}{5} | - \frac{6}{5} | 0)

Alternative Lösung

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Der Lotfußpunkt kann auch über die Lotfußpunktsformel bestimmt werden:

Schritt einblenden / ausblenden

Lotfußpunktsformel

Formel für die Bestimmung des Lotfußpunktes

D

eines Lotes von einem Punkt

P

auf eine Gerade

g

[\vec{g} - \vec{P}] \circ \vec{v} = 0

"Gerade

g

minus Punkt

P

mal Richtungsvektor

v

der Geraden

g

ist gleich Null"

Hier ist

P

der Punkt

S (0 | 0 | 6)

[(\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{matrix})] \circ (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) = 0

Nach der Skalarmultiplikation wird die Gleichung nach

λ

aufgelöst. Der gefundene Wert für

λ

wird in die Geradengleichung eingesetzt, um den Lotfußpunkt zu berechnen.

Winkel zwischen Gerade und Ebene

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Der gesuchte Neigungswinkel

φ

entspricht dem Winkel zwischen der

x_{1} x_{2}

-Ebene

E

und der Geraden

D S

D (\frac{3}{5} | - \frac{6}{5} | 0)

S (0 | 0 | 6)

Richtungsvektor der Geraden

D S

bestimmen:

\vec{D S} = \vec{S} - \vec{D} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{matrix}) - (\begin{matrix} \frac{3}{5} \\ - \frac{6}{5} \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} \\ 6 \end{matrix})

Winkel

φ

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Winkel zwischen Ebene und Gerade

Der Winkel

φ

zwischen einer Ebene

E

und einer Geraden

g

entspricht dem von 90° abgezogenen Winkel

β

zwischen dem Normalenvektor

\vec{n_{E}}

der Ebene und dem Richtungsvektor

\vec{v}

der Geraden.

∡ (g, E) = 90^{\circ} - ∡ (\vec{v}, \vec{n_{E}})

Hier ist

\vec{D S}

der Richtungsvektor der Geraden.

φ = ∡ (D S, E) = 90^{\circ} - \underset{β}{\underset{︸}{∡ (\vec{D S}, \vec{n_{E}})}}

Schritt einblenden / ausblenden

Skalarprodukt

Winkel zwischen zwei Vektoren

Aus der allgemeinen Definition des Skalarproduktes zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

\vec{a} \circ \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos \underset{α}{\underset{︸}{∡ (\vec{a}, \vec{b})}}

folgt für den Winkel

α

zwischen den beiden Vektoren:

\cos α = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}

(Formel zur Winkelberechnung zwischen 2 Vektoren)

\cos β = \frac{\vec{D S} \circ \vec{n_{E}}}{| \vec{D S} | \cdot | \vec{n_{E}} |}

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

Für den Richtungsvektor der

x_{1} x_{2}

-Ebene

\vec{n_{E}} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

gilt z.B:

| \vec{n_{E}} | = \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}} = 1

\cos β = \frac{(\begin{matrix} - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} \\ 6 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})}{\sqrt{{(- \frac{3}{5})}^{2} + {(\frac{6}{5})}^{2} + 6^{2}} \cdot 1} = \frac{6}{\sqrt{37.8}}

β = \cos {(\frac{6}{\sqrt{37, 8}})}^{- 1} \approx 12, 6^{\circ}

\Rightarrow φ = 90^{\circ} - β = 90^{\circ} - 12, 6^{\circ} = 77, 4^{\circ}

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

Teilaufgabe 3c

Teilaufgabe 3d

Lösung als Video:

Lösung als Video

Themen dieser Aufgabe:

Geradengleichung aufstellen

Lotfußpunkt auf eine Gerade

Alternative Lösung

Winkel zwischen Gerade und Ebene

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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