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Lösung Abitur Bayern 2011 G9 Abitur Mathematik GK Analytische Geometrie V
Teilaufgabe 2b (8 BE)
An welchem Punkt muss gestartet werden, wenn der geradlinige Weg zum Gipfel auf der Südseite verlaufen und möglichst kurz sein soll?
Bestimmen Sie im Geländemodell die Koordinaten dieses Punkts sowie den Neigungswinkel des zugehörigen Wegs gegen die -Ebene.
Bestimmen Sie im Geländemodell die Koordinaten dieses Punkts sowie den Neigungswinkel des zugehörigen Wegs gegen die -Ebene.
Lösung zu Teilaufgabe 2b
Geradengleichung aufstellen

Der gesuchte Startpunkt liegt auf der Strecke und ist der Fußpunkt des Lotes vom Punkt auf die Gerade .
,
Gerade bestimmen:
ist Richtungsvektor der Geraden .
Gleichung der Geraden :
Schritt einblenden / ausblenden
Lotfußpunkt auf eine Gerade
Schritt einblenden / ausblenden
Hilfsebene durch senkrecht zu aufstellen:
Schritt einblenden / ausblenden
Hilfsebene mit der Geraden schneiden:
Schritt einblenden / ausblenden
in einsetzen:
in die Geradengleichung einsetzen und Lotfußpunkt bestimmen:
in die Geradengleichung einsetzen und Lotfußpunkt bestimmen:
Der Lotfußpunkt, und somit der Startpunkt, hat die Koordinaten .
Alternative Lösung
Der Lotfußpunkt kann auch über die Lotfußpunktsformel bestimmt werden:
Schritt einblenden / ausblenden
Nach der Skalarmultiplikation wird die Gleichung nach aufgelöst. Der gefundene Wert für wird in die Geradengleichung eingesetzt, um den Lotfußpunkt zu berechnen.
Winkel zwischen Gerade und Ebene

Der gesuchte Neigungswinkel entspricht dem Winkel zwischen der -Ebene und der Geraden .
,
Richtungsvektor der Geraden bestimmen:
Winkel bestimmen:
,
Richtungsvektor der Geraden bestimmen:
Winkel bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
Schritt einblenden / ausblenden
Schritt einblenden / ausblenden
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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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