Lösung Abitur Bayern 2011 G9 Abitur Mathematik GK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1b (5 BE)

Die Punkte

A

B

und

S

legen die Ebene

E

fest. Ermitteln Sie eine Gleichung von

E

in Normalenform.

[mögliches Ergebnis: $E : 2 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} - 6 = 0$ ]

Lösung zu Teilaufgabe 1b

Ebene aus drei Punkte

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A (3 | 0 | 0)

B (0 | 3 | 0)

S (0 | 0 | 6)

Richtungsvektoren

\vec{A B}

und

\vec{A S}

der Ebene

E

bestimmen:

\vec{A B} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})

\vec{A S} = \vec{S} - \vec{A} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 6 \end{matrix})

\vec{A}

sei der Ortsvektor (des Aufpunkts) der Ebene

E

Ebenengleichung in Normalenform

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Normalenvektor

\vec{n_{E}}

der Ebene

E

aus den beiden Richtungsvektoren bestimmen:

\vec{A B} \times \vec{A S} = (\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 6 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Vektorprodukt

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

\vec{a} \times \vec{b}

zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

ist ein Vektor

\vec{n}

, der senkrecht auf der von beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht.

Für die komponentenweise Berechnung gilt:

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} \cdot b_{3} - a_{3} \cdot b_{2} \\ a_{3} \cdot b_{1} - a_{1} \cdot b_{3} \\ a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \end{matrix})

In diesem Fall ist:

(\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \cdot 6 - 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot (- 3) - (- 3) \cdot 6 \\ (- 3) \cdot 0 - 3 \cdot (- 3) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 18 \\ 18 \\ 9 \end{matrix})

\vec{A B} \times \vec{A S} = (\begin{matrix} 18 \\ 18 \\ 9 \end{matrix})

Normalenvektor vereinfachen:

Schritt einblenden / ausblenden

\vec{n_{E}} = \frac{1}{9} \cdot (\begin{matrix} 18 \\ 18 \\ 9 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})

Normalenform

E^{N}

der Ebene:

Schritt einblenden / ausblenden

Normalenform einer Ebene

Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt.

E^{N} : [\vec{X} - \vec{P}] \circ \vec{n_{E}} = 0

Hier (

A

ist Aufpunkt):

E^{N} : [\vec{X} - (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})] \circ (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) = 0

Kann auch geschrieben werden:

\vec{X} \circ (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})

E^{N} : \vec{X} \circ (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})

E^{N} : 2 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} = 6

E^{N} : 2 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} - 6 = 0

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Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Ebene aus drei Punkte

Ebenengleichung in Normalenform

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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