Lösung Abitur Bayern 2011 G9 Abitur Mathematik GK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1a (7 BE)

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte

A (3 | 0 | 0)

B (0 | 3 | 0)

C (- 3 | - 3 | 0)

und

S (0 | 0 | 6)

gegeben.

Das Dreieck

A B C

liegt in der

x_{1} x_{2}

-Ebene. Zeichnen Sie das Dreieck in ein zweidimensionales Koordinatensystem (vgl. Abbildung) ein. Weisen Sie nach, dass das Dreieck gleichschenklig ist, und bestimmen Sie seinen Flächeninhalt.

[Teilergebnis: Flächeninhalt: $13, 5$ ]

Lösung zu Teilaufgabe 1a

Skizze

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Länge eines Vektors

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Vektoren

\vec{C A}

und

\vec{C B}

bestimmen:

\vec{C A} = \vec{A} - \vec{C} = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 3 \\ - 3 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})

\vec{C B} = \vec{B} - \vec{C} = (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 3 \\ - 3 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 6 \\ 0 \end{matrix})

Länge der Vektoren bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

| \vec{C A} | = | (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) | = \sqrt{6^{2} + 3^{2} + 0^{2}} = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5}

| \vec{C B} | = | (\begin{matrix} 3 \\ 6 \\ 0 \end{matrix}) | = \sqrt{3^{2} + 6^{2} + 0^{2}} = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5}

| \vec{C A} | = | \vec{C B} |

Schritt einblenden / ausblenden

\Rightarrow

Das Dreieck

A B C

ist gleichschenklig.

Flächeninhalt eines Dreiecks

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Flächeninhalt des Dreiecks

A B C

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt eines Dreiecks

Der Flächeninhalt

A

eines beliebigen Dreiecks

A B C

ist gegeben durch:

A = \frac{1}{2} | \vec{A B} \times \vec{A C} |

Bemerkung:

Die Vektoren

\vec{A B}

und

\vec{A C}

stehen repräsentativ für zwei Vektoren aus dem Dreieck

A B C

, es müssen nicht immer diese verwendet werden. In diesem Fall z.B. heißen die Vektoren

\vec{C A}

und

\vec{C B}

A_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot | \vec{C A} \times \vec{C B} |

A_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot | (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 3 \\ 6 \\ 0 \end{matrix}) |

Schritt einblenden / ausblenden

Vektorprodukt

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

\vec{a} \times \vec{b}

zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

ist ein Vektor

\vec{n}

, der senkrecht auf der von beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht.

Für die komponentenweise Berechnung gilt:

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} \cdot b_{3} - a_{3} \cdot b_{2} \\ a_{3} \cdot b_{1} - a_{1} \cdot b_{3} \\ a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \end{matrix})

In diesem Fall ist:

(\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 3 \\ 6 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \cdot 0 - 0 \cdot 6 \\ 0 \cdot 3 - 6 \cdot 0 \\ 6 \cdot 6 - 3 \cdot 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 27 \end{matrix})

A_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot | (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 27 \end{matrix}) | = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 27^{2}} = \frac{1}{2} \cdot 27 = 13, 5

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Themen dieser Aufgabe:

Skizze

Länge eines Vektors

Flächeninhalt eines Dreiecks

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die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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