Lösung Abitur Bayern 2011 G9 Abitur Mathematik GK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3c (4 BE)

Die Ebene

F

enthält den Mittelpunkt der Strecke

[A S]

und ist parallel zur

x_{1} x_{2}

-Ebene. Bestimmen Sie den Inhalt des Flächenstücks, in dem sich die Pyramide und die Ebene

F

schneiden; begründen Sie Ihr Vorgehen.

Lösung zu Teilaufgabe 3c

Zentrische Streckung

Sei die Spitze

S

der Pyramide das Streckungszentrum einer zentrischen Streckung der Dreiecksfläche

A B C

mit Streckungsfaktor

k

.

Mit

A^{'}

Mittelpunkt der Strecke

[A S]

, gilt:

k = \frac{\bar{A A^{'}}}{\bar{A S}} = \frac{\bar{A A^{'}}}{2 \cdot \bar{A A^{'}}} = \frac{1}{2}

Die Dreiecksfläche

A^{'} B^{'} C^{'}

, die als Schnitt der Ebene

F

mit der Pyramide hervorgeht, ist ähnlich zur Dreiecksfläche

A B C

.

Mit

A_{A B C} = 13, 5

(s. Teilaufgabe 1a), folgt:

Schritt einblenden / ausblenden

Zentrische Streckung

Wird eine geometrische Figur

A_{1}

durch zentrische Streckung auf eine geometrische Figur

A_{2}

mit einem Streckungsfaktor

k = \frac{m}{n}

abgebildet, so gilt für den Flächeninhalt der ähnlichen Figuren:

A_{2} = k^{2} \cdot A_{1}

A_{A^{'} B^{'} C^{'}} = k^{2} \cdot A_{A B C}

A_{A^{'} B^{'} C^{'}} = {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 13, 5 = 3, 375

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Teilaufgabe 3b

Teilaufgabe 3c

Teilaufgabe 3d

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Themen dieser Aufgabe:

Zentrische Streckung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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