Lösung Abitur Bayern 2011 G8 Musterabitur Mathematik Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil 2 6a (3 BE)

Jeder Körper sendet elektromagnetische Strahlung unterschiedlicher Frequenzen aus. Die Intensität der Strahlung hängt von der Frequenz der Strahlung ab. Im Idealfall gilt nach Max Planck für diese Intensität bei einem Körper der Temperatur

T

I_{T} (x) = \frac{x^{3}}{e^{\frac{x}{T}} - 1}

D_{I_{T}} = ℝ^{+}

.

Dabei entspricht

x

bis auf eine Konstante der Frequenz der Strahlung und der Parameter

T

(Temperatur in Kelvin) ist positiv.
Die Graphik zeigt die zu drei Werten des Parameters

T

gehörenden Graphen von

I_{T}

.
Jede Scharfunktion

I_{T}

hat genau eine Maximalstelle

x_{m a x}

In den folgenden Teilaufgaben kann ohne Einheiten gerechnet werden.

Weisen Sie am Funktionsterm nach, dass

I_{T} (x)

stets positiv ist.

Lösung zu Teilaufgabe Teil 2 6a

Wertebereich bestimmen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

I_{T} (x) = \frac{x^{3}}{e^{\frac{x}{T}} - 1}

D_{I_{T}} = ℝ^{+} =] 0; \infty [

Zählerfunktion:

x^{3} > 0

für alle

x \in D_{I_{T}}

T > 0

laut Angabe

\Rightarrow

\frac{x}{T} > 0

für

x \in D_{I_{T}}

Schritt einblenden / ausblenden

Wertebereich der Exponentialfunktion

Eine Exponentialfunktion vom Typ

e^{k x}

mit

k > 0

hat immer positive Funktionswerte, schneidet die

x

-Achse im Punkt

P (0, 1)

und ist streng monoton steigend. Das bedeutet, dass die Funktionswerte größer als

1

sind für

x > 0

Nennerfunktion:

e^{\frac{x}{T}} > 1

für alle

x \in D_{I_{T}}

\Rightarrow

e^{\frac{x}{T}} - 1 > 0

für alle

x \in D_{I_{T}}

Schritt einblenden / ausblenden

Vorzeichen eines Bruches

Der Funktionsterm ist ein Bruch.

Ein Bruch ist positiv wenn Zähler und Nenner entweder beide positiv oder beide negativ sind (z.B.

\frac{3}{5} > 0

oder

\frac{- 3}{- 5} > 0

).

In diesem Fall sind sie beide stets positiv.

\Rightarrow

I_{T} (x) = \frac{x^{3}}{e^{\frac{x}{T}} - 1} > 0

für alle

x \in D_{I_{T}}

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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