Abitur 2011 G8 Musterabitur Mathematik Infinitesimalrechnung II

Teilaufgabe Teil 1 1 (5 BE)

Geben Sie für die Funktionen mit den folgenden Termen jeweils die maximale Definitionsmenge an und untersuchen Sie die Funktionen auf Nullstellen.

f_{1} (x) = \frac{1}{x - 1}

f_{2} (x) = \sqrt{x - 1}

f_{3} (x) = \ln (x - 1)

Teilaufgabe Teil 1 2 (5 BE)

Es gibt genau eine Tangente an den Graphen der Funktion

f : x \mapsto x^{2}

D_{f} = ℝ

, deren Neigungswinkel gegen die

x

-Achse

135^{\circ}

beträgt. Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Tangente.

Der Graph einer auf

ℝ

definierten, integrierbaren Funktion

f

sei punktsymmetrisch zum Ursprung.

Teilaufgabe Teil 1 3a (3 BE)

Begründen Sie allgemein, dass dann für alle

a > 0

gilt:

\int_{- a}^{a} f (x) d x = 0

Teilaufgabe Teil 1 3b (4 BE)

Wählen Sie selbst eine Funktion

f

, deren Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist, und bestätigen Sie für dieses

f

die Aussage aus Teilaufgabe 3a, indem Sie das Integral für die gewählte Funktion

f

mithilfe einer Stammfunktion berechnen.

Teilaufgabe Teil 1 4 (3 BE)

Welcher der angegebenen Terme nähert die Funktion

f : x \mapsto \frac{1}{x} + x + 1

für große Werte von

x

am besten? Machen Sie Ihre Antwort plausibel.

(i)

\frac{1}{x}

(ii)

x

(iii)

x + 1

(iv)

\frac{1}{x} + 1

(v)

\frac{1}{x} + x

Die Funktion

f : t \mapsto 3 (1 - e^{- t}) - t

wird im Definitionsbereich

D_{f} = ℝ_{0}^{+}

betrachtet. Der Graph von

f

wird mit

G_{f}

bezeichnet.

Teilaufgabe Teil 2 5a (10 BE)

Bestimmen Sie das Verhalten von

f

an den Grenzen von

D_{f}

.
Zeigen Sie, dass

G_{f}

genau einen Hochpunkt besitzt, und berechnen Sie dessen Koordinaten.
Berechnen Sie

f (3)

und skizzieren Sie

G_{f}

mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse.

[Zur Kontrolle: Hochpunkt an der Stelle $t = \ln 3$ ]

Teilaufgabe Teil 2 5b (3 BE)

Im Intervall

[2; 3]

besitzt

f

genau eine Nullstelle

a

. Führen Sie mit dem Startwert

3

den ersten Schritt des Newton-Verfahrens zur näherungsweisen Berechnung von

a

durch.
Man erhält dadurch

a

auf zwei Dezimalen genau.

[Ergebnis: $a \approx 2, 82$ ]

Teilaufgabe Teil 2 5c (5 BE)

Berechnen Sie mithilfe des Näherungswerts aus Teilaufgabe 5b den Inhalt des Flächenstücks, das

G_{f}

im I. Quadranten mit der

t

-Achse einschließt.

Teilaufgabe Teil 2 5d (5 BE)

Betrachtet wird die Funktion

F : x \mapsto \int_{a}^{x} f (t) d t

D_{F} = D_{f}

.
Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen von

F

in der Nähe des Punktes

N (a | F (a))

. Begründen Sie Ihre Ausführungen.
Welche Bedeutung hat das Ergebnis der Teilaufgabe 5c für die Funktion

F

Jeder Körper sendet elektromagnetische Strahlung unterschiedlicher Frequenzen aus. Die Intensität der Strahlung hängt von der Frequenz der Strahlung ab. Im Idealfall gilt nach Max Planck für diese Intensität bei einem Körper der Temperatur

T

I_{T} (x) = \frac{x^{3}}{e^{\frac{x}{T}} - 1}

D_{I_{T}} = ℝ^{+}

.

Dabei entspricht

x

bis auf eine Konstante der Frequenz der Strahlung und der Parameter

T

(Temperatur in Kelvin) ist positiv.
Die Graphik zeigt die zu drei Werten des Parameters

T

gehörenden Graphen von

I_{T}

.
Jede Scharfunktion

I_{T}

hat genau eine Maximalstelle

x_{m a x}

In den folgenden Teilaufgaben kann ohne Einheiten gerechnet werden.

Teilaufgabe Teil 2 6a (3 BE)

Weisen Sie am Funktionsterm nach, dass

I_{T} (x)

stets positiv ist.

Teilaufgabe Teil 2 6b (6 BE)

Weisen Sie nach, dass für die erste Ableitung der Funktion

I_{T}

gilt:

I_{T}^{'} (x) = \frac{x^{2} e^{\frac{x}{T}} [3 (1 - e^{- \frac{x}{T}}) - \frac{x}{T}]}{{(e^{^{\frac{x}{T}}} - 1)}^{2}}

Vergleichen Sie diesen Term mit dem der Funktion

f

aus Aufgabe 5 und zeigen Sie, dass für die Maximalstelle

x_{m a x}

von

I_{T}

gilt:

\frac{x_{m a x}}{T} = a

, wobei

a

die positive Nullstelle von

f

ist.

Teilaufgabe Teil 2 6c (5 BE)

Unsere Sonne liefert maximale Intensität für

x_{m a x} = 17 \cdot 10^{3}

(gelbgrüner Farbbereich). Welche Oberflächentemperatur ergibt sich hieraus für die Sonne?
Ordnen Sie die gezeichneten Graphen der Funktionsschar

I_{T}

den Temperaturen

T_{1} = 4000

Kelvin,

T_{2} = 6000

Kelvin und

T_{3} = 8000

Kelvin zu. Begründen Sie Ihre Antwort.

Teilaufgabe Teil 2 6d (3 BE)

Ein Körper der Temperatur

T

liefert für

x_{m a x}

die Intensität

I_{T} (x_{m a x})

. Begründen Sie, dass sich

I_{T} (x_{m a x})

verachtfacht, wenn ein Körper mit doppelt so hoher Temperatur betrachtet wird.

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe Teil 1 1

Teilaufgabe Teil 1 2

Teilaufgabe Teil 1 3a

Teilaufgabe Teil 1 3b

Teilaufgabe Teil 1 4

Teilaufgabe Teil 2 5a

Teilaufgabe Teil 2 5b

Teilaufgabe Teil 2 5c

Teilaufgabe Teil 2 5d

Teilaufgabe Teil 2 6a

Teilaufgabe Teil 2 6b

Teilaufgabe Teil 2 6c

Teilaufgabe Teil 2 6d

Lösung als Video:

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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