Lösung Abitur Bayern 2011 G8 Musterabitur Mathematik Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil 2 5d (5 BE)

Betrachtet wird die Funktion

F : x \mapsto \int_{a}^{x} f (t) d t

D_{F} = D_{f}

.
Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen von

F

in der Nähe des Punktes

N (a | F (a))

. Begründen Sie Ihre Ausführungen.
Welche Bedeutung hat das Ergebnis der Teilaufgabe 5c für die Funktion

F

Lösung zu Teilaufgabe Teil 2 5d

Eigenschaften der Integralfunktion

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F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t

D_{F} = D_{f}

F (a) = \int_{a}^{a} f (t) d t = 0

(da

a

Integrationsanfang)

\Rightarrow

N (a | F (a))

liegt auf der

x

-Achse

Schritt einblenden / ausblenden

Ableitung der Integralfunktion

Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist die Ableitung der Integralfunktion (hier

F

) gleich der Integrandenfunktion (hier

f

F^{'} = f

\Rightarrow

F^{'} (a) = f (a) = 0

(siehe Teilaufgabe b)

Schritt einblenden / ausblenden

Vorzeichenwechsel

Der Graph der Funktion

f

ist der Graph der ersten Ableitung der Funktion

F

. Man erkennt am Graphen, dass die Funktion

f

links von der Stelle

a

positive Funktionswerte hat, die

x

-Achse dann an der Stelle

a

schneidet und rechts davon negative Funktionswerte hat.

Es liegt somit ein Vorzeichenwechsel vor.

F (x)

hat an der Stelle

x = a

ein Hochpunkt, da

F^{'} (a) = 0

und Vorzeichenwechsel von "+" nach "-" von

f

(siehe Skizze aus Teilaufgabe 5a bzw. oberes Bild)

Verlauf des Graphen:

Schritt einblenden / ausblenden

Funktionswert der Integralfunktion

Die

y

-Werte der Integralfunktion

F

sind Flächenstücke, welche die Integrandenfunktion

f

mit der

x

-Achse einschließt.

Ist

x > a

, so ist

\int_{a}^{x} f (t) d t

gleich der Fläche die der Graph von

f (t)

mit der

x

-Achse zwischen

a

und

x

einschließt . Da die Fläche unterhalb der

x

-Achse ist, ist der Wert negativ.

Ist nun

x < a

, so ist

\int_{a}^{x} f (t) d t

gleich der Fläche die der Graph von

f (t)

mit der

x

-Achse zwischen

x

und

a

einschließt. Obwohl die Fläche oberhalb der

x

-Achse liegt, ist der Wert negativ, da die Integrationsgrenzen vertauscht sind (vom Wert her). Es gilt nämlich für

x < a

\int_{a}^{x} f (t) d t = - \underset{> 0}{\underset{︸}{\int_{x}^{a} f (t) d t}} < 0

Der Graph von

F (x)

verläuft in der Nähe des Punktes

N

unterhalb der

x

-Achse, berührt die

x

-Achse im Punkt

N

und hat an dieser Stelle einen Hochpunkt.

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Ergebnis aus Teilaufgabe 5c:

\int_{0}^{a} f (t) d t \approx 1, 7

Durch Vertauschen der Integrationsgrenzen, folgt:

F (0) = \int_{a}^{0} f (t) d t = - \int_{0}^{a} f (t) d t \approx - 1, 7

Bedeutung des Resultats aus Teilaufgabe 5c:

F (0) \approx - 1, 7

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Eigenschaften der Integralfunktion

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