Lösung Abitur Bayern 2011 G8 Musterabitur Mathematik Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil 2 5c (5 BE)

Berechnen Sie mithilfe des Näherungswerts aus Teilaufgabe 5b den Inhalt des Flächenstücks, das

G_{f}

im I. Quadranten mit der

t

-Achse einschließt.

Lösung zu Teilaufgabe Teil 2 5c

Flächenberechnung

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f (t) = 3 (1 - e^{- t}) - t

a \approx 2, 82

Nullstelle von

f (t)

(siehe Teilaufgabe 5b)

Nebenrechnung:

\int e^{- t} d t = - e^{- t}

(siehe auch Merkhilfe)

Schritt einblenden / ausblenden

Bestimmtes Integral

Das bestimmte Integral

\int_{0}^{a} f (t) d t

ist gleich der Fläche

A

, die der Graph

G_{f}

mit der

x

-Achse zwischen

0

und

a

einschließt.

Inhalt

A

bestimmen:

A = \int_{0}^{a} f (t) d t

= \int_{0}^{a} [3 (1 - e^{- t}) - t] d t

= \int_{0}^{a} (3 - 3 e^{- t} - t) d t

Schritt einblenden / ausblenden

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, dann ist

F^{'} = f

und es gilt:

\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

Hier ist

3 t

Stammfunktion von

3

3 e^{- t}

Stammfunktion von

- 3 e^{- t}

und

\frac{t^{2}}{2}

Stammfunktion von

t

= {[3 t + 3 e^{- t} - \frac{t^{2}}{2}]}_{0}^{a}

= (3 a + 3 e^{- a} - \frac{a^{2}}{2}) - (3 \cdot 0 + 3 e^{- 0} - \frac{0^{2}}{2})

= 3 \cdot 2, 82 + 3 e^{- 2, 82} - \frac{2, 82^{2}}{2} - 3

\approx 1, 7

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Themen dieser Aufgabe:

Flächenberechnung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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