Lösung Abitur Bayern 2011 G8 Musterabitur Mathematik Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil 2 5a (10 BE)

Die Funktion

f : t \mapsto 3 (1 - e^{- t}) - t

wird im Definitionsbereich

D_{f} = ℝ_{0}^{+}

betrachtet. Der Graph von

f

wird mit

G_{f}

bezeichnet.

Bestimmen Sie das Verhalten von

f

an den Grenzen von

D_{f}

.
Zeigen Sie, dass

G_{f}

genau einen Hochpunkt besitzt, und berechnen Sie dessen Koordinaten.
Berechnen Sie

f (3)

und skizzieren Sie

G_{f}

mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse.

[Zur Kontrolle: Hochpunkt an der Stelle $t = \ln 3$ ]

Lösung zu Teilaufgabe Teil 2 5a

Verhalten der Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

f (t) = 3 (1 - e^{- t}) - t

D_{f} = ℝ_{0}^{+} = [0; \infty [

f (0) = 3 (1 - \underset{1}{\underset{︸}{e^{0}}}) - 0 = 0

lim_{t \to \infty} f (x) = lim_{t \to \infty} \underset{\to 3}{\underset{︸}{3 (1 - \underset{\to 0}{\underset{︸}{e^{- t}}})}} - \underset{\to \infty}{\underset{︸}{t}} = - \infty

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

f (x) = 3 (1 - e^{- t}) - t = - 3 e^{- t} + 3 - t

lim_{t \to \infty} \underset{\to 0}{\underset{︸}{(- 3 e^{- t})}} + \underset{\to - \infty}{\underset{︸}{(3 - t)}} = - \infty

Die Funktion

f (t)

nähert sich für große positive

t

-Werte an die Gerade

3 - t

\Rightarrow

y = 3 - t

ist schräge Asymptote

Art von Extrempunkten ermitteln

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Erste Ableitung bilden:

f^{'} (t) = {[3 (1 - e^{- t}) - t]}^{'}

Schritt einblenden / ausblenden

Kettenregel der Differenzialrechnung

f (x) = u (v (x))

\Rightarrow

f^{'} (x) = u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x)

Formel für Exponentialfunktionen:

f (x) = e^{v (x)}

\Rightarrow

f^{'} (x) = e^{v (x)} \cdot v^{'} (x)

Hier ist

v (t) = - t

.
Dann ist

v^{'} (t) = - 1

= - 3 e^{- t} \cdot (- 1) - 1

= 3 e^{- t} - 1

Erste Ableitung gleich Null setzen:

Schritt einblenden / ausblenden

Notwendige Bedingung

Folgende notwendige Bedingung muss für ein Extrempunkt an der Stelle

x^{E}

erfüllt sein:

f^{'} (x^{E}) = 0

daher immer der Ansatz:

f^{'} (x) = 0

f^{'} (t) = 0

\Leftrightarrow

3 e^{- t} - 1 = 0

\frac{3}{e^{t}} = 1

|

\cdot e^{t}

e^{t} = 3

|

logarithmieren

\ln e^{t} = \ln 3

Schritt einblenden / ausblenden

Logarithmus einer Potenz

Dritte Logarithmusregel:

\ln (s^{t}) = t \cdot \ln s

\Rightarrow

\ln e^{t} = t \cdot \underset{1}{\underset{︸}{\ln e}} = t

t^{E} = \ln 3

Zweite Ableitung bilden:

f^{''} (t) = {(3 e^{- t} - 1)}^{'}

Schritt einblenden / ausblenden

Kettenregel der Differenzialrechnung

Kettenregel:

f (x) = u (v (x))

\Rightarrow

f^{'} (x) = u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x)

Formel für Exponentialfunktionen:

f (x) = e^{v (x)}

\Rightarrow

f^{'} (x) = e^{v (x)} \cdot v^{'} (x)

Hier ist

v (t) = - t

.
Dann ist

v^{'} (t) = - 1

= 3 e^{- t} \cdot (- 1)

= \overset{< 0}{\overset{︷}{- 3 \underset{> 0}{\underset{︸}{e^{- t}}}}}

\Rightarrow

f^{''} (t) < 0

für alle

t \in D_{f}

Art des Extrempunktes:

Schritt einblenden / ausblenden

Art eines Extremums

Ist

f^{'} (x^{E}) = 0

und

f^{''} (x^{E}) > 0

, so hat die Funktion an der Stelle

x^{E}

einen Tiefpunkt (Minimum)

Ist

f^{'} (x^{E}) = 0

und

f^{''} (x^{E}) < 0

, so hat die Funktion an der Stelle

x^{E}

einen Hochpunkt (Maximum)

G_{f}

hat an der Stelle

t^{E} = \ln 3

ein Hochpunkt.

Lage von Extrempunkten ermitteln

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

y^{E} = f (t^{E}) = f (\ln 3) = 3 (1 - e^{- \ln 3}) - \ln 3 = 3 (1 - \frac{1}{3}) - \ln 3 = 2 - \ln 3

\Rightarrow

E (\ln 3 | 2 - \ln 3)

Hochpunkt

Funktionswert berechnen

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f (3) = 3 (1 - e^{- 3}) - 3 \approx - 0, 15

Skizze

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Teilaufgabe Teil 2 6b

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Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Verhalten der Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs

Art von Extrempunkten ermitteln

Lage von Extrempunkten ermitteln

Funktionswert berechnen

Skizze

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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