Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik GK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2c (5 BE)

Eine Ebene

E^{'}

, die parallel zur Ebene

E

liegt, zerlegt den Kegel

K_{1}

in einen Kegel

K_{2}

und einen Kegelstumpf. Die Höhe des Kegelstumpfs beträgt ein Drittel der Höhe des Gesamtkegels

K_{1}

. Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Volumens des Kegelstumpfs am Volumen des Kegels

K_{1}

Lösung zu Teilaufgabe 2c

Volumen eines Kegels

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Höhe des Kegels

K_{1}

(siehe Teilaufgabe 2a):

h = \bar{B S} = 12

LE (Längeneinheiten)

Höhe des Kegels

K_{2}

h_{2} = \frac{2}{3} \cdot h = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8

LE (Längeneinheiten)

Radius des Kegels

K_{1}

(siehe Teilaufgabe 2a):

r = \bar{A B} = \sqrt{17}

LE (Längeneinheiten)

Radius des Kegels

K_{2}

Schritt einblenden / ausblenden

Strahlensatz

Wird ein Strahl von zwei parallelen Geraden geschnitten, dann gelten folgende Beziehungen (zwischen den Strecken):

1)

\frac{a}{x} = \frac{b}{y}

und

\frac{a}{c} = \frac{b}{d}

\frac{v}{w} = \frac{a}{x}

bzw.

\frac{v}{w} = \frac{b}{y}

In diesem Fall (wenn S de Punkt ist aus dem der Strahl kommt)gilt nach 2):

\frac{r_{2}}{r} = \frac{h_{2}}{h}

\frac{r_{2}}{r} = \frac{h_{2}}{h}

\Rightarrow r_{2} = \frac{h_{2}}{h} \cdot r = \frac{8}{12} \cdot \sqrt{17} = \frac{2 \sqrt{17}}{3}

LE (Längeneinheiten)

Volumen des Kegels

K_{2}

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Volumen eines Kegels

Das Volumen eines Kegels ist gegeben durch:

V_{K e g e l} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

wobei

G

die Grundfläche ist und

h

die Höhe des Kegels.

Hier ist

G

die Kreisfläche mit Radius

r_{2}

und

h = h_{2}

V_{K_{2}} = \frac{1}{3} \cdot r_{2}^{2} \cdot π \cdot h_{2}

= \frac{1}{3} \cdot {(\frac{2 \sqrt{17}}{3})}^{2} \cdot π \cdot 8

= \frac{544}{27} π

VE (Volumeneinheiten)

Volumen der Teilkörper

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Volumen des Kegels

K_{1}

(siehe Teilaufgabe 2a):

V_{K_{1}} = 68 π

VE (Volumeneinheiten)

Volumen

V_{K S}

des Kegelstumpfs bestimmen:

V_{K S} = V_{K_{1}} - V_{K_{2}} = 68 π - \frac{544}{27} π = \frac{1292}{27} π

VE (Volumeneinheiten)

Prozentualer Anteil bestimmen:

\frac{V_{K S}}{V_{K_{1}}} = \frac{\frac{1292}{27} π}{68 π} = \frac{19}{27} \approx 70, 4 %

\Rightarrow

Das Volumen des Kegelstumpfs beträgt ca.

70, 4 %

des Kegelvolumens

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 2d

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Volumen eines Kegels

Volumen der Teilkörper

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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