Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik GK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2a (4 BE)

Lässt man das Dreieck

A B S

um die Achse

B S

rotieren, so entsteht als Rotationskörper ein Kegel

K_{1}

Berechnen Sie das Volumen von

K_{1}

Lösung zu Teilaufgabe 2a

Länge eines Vektors

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

A (- 3 | 2 | - 1), B (- 1 | - 1 | - 3), S (3 | 7 | - 11)

Vektoren

\vec{A B}, \vec{B S}

und ihre Länge bestimmen:

\vec{A B} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 3 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ - 3 \\ - 2 \end{matrix})

\vec{B S} = \vec{S} - \vec{B} = (\begin{matrix} 3 \\ 7 \\ - 11 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 8 \\ - 8 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

| \vec{A B} | = \sqrt{{(\begin{matrix} 2 \\ - 3 \\ - 2 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{2^{2} + (- 3)^{2} + (- 2)^{2}} = \sqrt{17}

LE (Längeneinheiten)

| \vec{B S} | = \sqrt{{(\begin{matrix} 4 \\ 8 \\ - 8 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{4^{2} + 8^{2} + (- 8)^{2}} = \sqrt{144} = 12

LE (Längeneinheiten)

Volumen eines Kegels

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Volumen des Kegels

K_{1}

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Volumen eines Kegels

Das Volumen eines Kegels ist gegeben durch:

V_{K e g e l} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

wobei

G

die Grundfläche ist und

h

die Höhe des Kegels.

Hier ist

G

die Kreisfläche mit Radius

r = \bar{A B}

und

h = \bar{B S}

die Drehachse

r = \bar{A B} = \sqrt{17}

LE (Längeneinheiten)

h = \bar{B S} = 12

LE (Längeneinheiten)

V_{K e g e l} = \frac{1}{3} \cdot r^{2} \cdot π \cdot h

= \frac{1}{3} \cdot {(\sqrt{17})}^{2} \cdot π \cdot 12

= 68 π

VE (Volumeneinheiten)

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

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Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

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Teilaufgabe 2d

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Themen dieser Aufgabe:

Länge eines Vektors

Volumen eines Kegels

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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