Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik GK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1a (8 BE)

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte

A (- 3 | 2 | - 1), B (- 1 | - 1 | - 3)

und

S (3 | 7 | - 11)

sowie die Geraden

g = A B

und

h : \vec{x} = (\begin{matrix} 7 \\ 4 \\ 6 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}), λ \in ℝ

, gegeben.

Zeigen Sie, dass die Geraden

g

und

h

echt parallel zueinander sind. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene

E

, die die Geraden

g

und

h

enthält, in Normalenform.

[mögliches Ergebnis:

E : x_{1} + 2 x_{2} - 2 x_{3} - 3 = 0

]

Lösung zu Teilaufgabe 1a

Geradengleichung aufstellen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

A (- 3 | 2 | - 1)

B (- 1 | - 1 | - 3)

h : \vec{x} = (\begin{matrix} 7 \\ 4 \\ 6 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})

\Rightarrow

Der Vektor

(\begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})

ist Richtungsvektor der Geraden

h

P (7 | 4 | 6)

ist Aufpunkt von

h

Richtungsvektor der Geraden

g

\vec{A B} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 3 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ - 3 \\ - 2 \end{matrix})

Gleichung der Geraden

g

Schritt einblenden / ausblenden

Geradengleichung

Eine Gerade

g

ist durch einen Ortsvektor

\vec{P}

und einen Richtungsvektor

\vec{v}

eindeutig bestimmt:

g : \vec{X} = \vec{P} + μ \cdot \vec{v}

μ \in ℝ

Wenn

A

als Aufpunkt genommen wird, dann ist

\vec{A}

der Ortsvektor (des Aufpunkts) der Geraden

g

g : \vec{x} = (\begin{matrix} - 3 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix}) + μ \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 3 \\ - 2 \end{matrix})

Lagebeziehung von Geraden

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Auf Parallelität überprüfen:
(Sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander?)

(\begin{matrix} 2 \\ - 3 \\ - 2 \end{matrix}) = (- 1) \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Parallelität von zwei Geraden

Zwei Geraden

g

und

h

sind parallel wenn der Richtungsvektor

\vec{v}

der einen Gerade durch den Richtungsvektor

\vec{u}

der anderen Geraden ausgedrückt werden kann (ob also der eine ein Vielfaches vom anderen ist):

\vec{v} = k \cdot \vec{u}

k \in ℝ

In diesem Fall ist

k = - 1

\Rightarrow g

und

h

sind parallel

\Rightarrow

damit sind nur die Lagebeziehungen "identisch" oder "echt parallel" möglich

Überprüfen ob gilt:

g \neq h

Schritt einblenden / ausblenden

Echt parallele Geraden

Zwei Geraden

g

und

h

sind echt parallel wenn sie parallel sind und nicht identisch sind, also

g \neq h

.

Man überprüft die echte Parallelität zweier Geraden, indem man einen Punkt der einen Gerade in die Geradengleichung der anderen Gerade einsetzt. Erfüllen die Koordinaten des Punktes die Geradengleichung nicht, so sind die Geraden echt parallel.

Hier wird der Ortsvektor der Geraden

g

in die Geradengleichung von

h

eingesetzt

(\begin{matrix} - 3 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 7 \\ 4 \\ 6 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})

(\begin{matrix} - 3 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 7 \\ 4 \\ 6 \end{matrix}) = λ \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})

(\begin{matrix} - 10 \\ - 2 \\ - 7 \end{matrix}) = λ \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})

\Leftrightarrow

\begin{matrix} - 10 = - 2 λ \\ - 2 = 3 λ \\ - 7 = 2 λ \end{matrix}

\Rightarrow

\begin{matrix} λ = 5 \\ λ = - \frac{2}{3} \\ λ = - \frac{7}{2} \end{matrix}

\Rightarrow

Widerspruch!

\Rightarrow

g

und

h

sind echt parallel

Ebenengleichung in Normalenform

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

\vec{A} = (\begin{matrix} - 3 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix})

Ortsvektor (des Aufpunkts) der Ebene

E

\vec{A B} = (\begin{matrix} 2 \\ - 3 \\ - 2 \end{matrix})

Richtungsvektor der Geraden

g

ist ein Richtungsvektor der Ebene

E

Zweiter Richtungsvektor der Ebene

E

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

\vec{P A} = \vec{A} - \vec{P} = (\begin{matrix} - 3 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 7 \\ 4 \\ 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 10 \\ - 2 \\ - 7 \end{matrix})

(Verbindungsvektor von

A

und

P

)

Normalenvektor

\vec{n_{E}}

der Ebene

E

aus den beiden Richtungsvektoren bestimmen:

\vec{A B} \times \vec{P A} = (\begin{matrix} 2 \\ - 3 \\ - 2 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 10 \\ - 2 \\ - 7 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Vektorprodukt

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

\vec{a} \times \vec{b}

zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

ist ein Vektor

\vec{n}

, der senkrecht auf der von beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht.

Für die komponentenweise Berechnung gilt:

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} \cdot b_{3} - a_{3} \cdot b_{2} \\ a_{3} \cdot b_{1} - a_{1} \cdot b_{3} \\ a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \end{matrix})

In diesem Fall ist:

(\begin{matrix} 2 \\ - 3 \\ - 2 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 10 \\ - 2 \\ - 7 \end{matrix}) = (\begin{matrix} (- 3) \cdot (- 7) - (- 2) \cdot (- 2) \\ (- 2) \cdot (- 10) - 2 \cdot (- 7) \\ 2 \cdot (- 2) - (- 3) \cdot (- 10) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 17 \\ 34 \\ - 34 \end{matrix})

= (\begin{matrix} 17 \\ 34 \\ - 34 \end{matrix})

Normalenvektor vereinfachen:

Schritt einblenden / ausblenden

\vec{n_{E}} = \frac{1}{17} \cdot (\begin{matrix} 17 \\ 34 \\ - 34 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix})

Normalenform

E^{N}

der Ebene

E

Schritt einblenden / ausblenden

Normalenform einer Ebene

Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt.

E^{N} : [\vec{X} - \vec{P}] \circ \vec{n_{E}} = 0

Hier:

E^{N} : [\vec{X} - (\begin{matrix} - 3 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix})] \circ (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix}) = 0

Kann auch geschrieben werden:

\vec{X} \circ (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 3 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix})

E^{N} : \vec{X} \circ (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 3 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix})

E^{N} : x_{1} + 2 x_{2} - 2 x_{3} = 3

E^{N} : x_{1} + 2 x_{2} - 2 x_{3} - 3 = 0

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 2d

Lösung als Video:

Lösung als Video

Themen dieser Aufgabe:

Geradengleichung aufstellen

Lagebeziehung von Geraden

Ebenengleichung in Normalenform

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

Feedback:

Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?

Teile uns Dein Feedback mit!