Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik GK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1c (5 BE)

Bestimmen Sie die Größe der Innenwinkel des Dreiecks

A B S

Lösung zu Teilaufgabe 1c

Innenwinkel eines Dreiecks

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A (- 3 | 2 | - 1)

B (- 1 | - 1 | - 3)

S (3 | 7 | - 11)

Vektoren

\vec{A B}, \vec{A S}

und ihre Länge bestimmen:

\vec{A B} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 3 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ - 3 \\ - 2 \end{matrix})

\vec{A S} = \vec{S} - \vec{A} = (\begin{matrix} 3 \\ 7 \\ - 11 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 3 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 \\ 5 \\ - 10 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

| \vec{A B} | = \sqrt{{(\begin{matrix} 2 \\ - 3 \\ - 2 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{2^{2} + (- 3)^{2} + (- 2)^{2}} = \sqrt{17}

| \vec{A S} | = \sqrt{{(\begin{matrix} 6 \\ 5 \\ - 10 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{6^{2} + 5^{2} + (- 10)^{2}} = \sqrt{161}

Winkel

α

zwischen den beiden Vektoren bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Winkel zwischen zwei Vektoren

Aus der allgemeinen Definition des Skalarproduktes zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

\vec{a} \circ \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos \underset{α}{\underset{︸}{∡ (\vec{a}, \vec{b})}}

folgt für den Winkel

α

zwischen den beiden Vektoren:

\cos α = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}

(Formel zur Winkelberechnung zwischen 2 Vektoren)

\cos α = \frac{\vec{A B} \circ \vec{A S}}{| \vec{A B} | \cdot | \vec{A S} |} = \frac{(\begin{matrix} 2 \\ - 3 \\ - 2 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 6 \\ 5 \\ - 10 \end{matrix})}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{161}} = \frac{12 - 15 + 20}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{161}} = \frac{17}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{161}}

\Rightarrow α = \cos^{- 1} (\frac{17}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{161}}) \approx 71, 04^{\circ}

Schritt einblenden / ausblenden

Winkelsumme im Dreieck

Die Summe der Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks ist immer gleich

180^{\circ}

.

Es gilt also in diesem Fall:

α + β + γ = 180^{\circ}

Aus Teilaufgabe 1b ist bekannt:

B

ist der Lotfußpunkt des Lotes vom Punkt

S

auf die Ebene

E

. Da

A

und

B

Punkte auf der Geraden

g

sind und somit auf der Ebene

E

liegen (nach Teilaufgabe 1a) ist der Winkel

γ

zwischen den Vektoren

\vec{B A}

und

\vec{B S}

gleich

90^{\circ}

α + β + 90^{\circ} = 180^{\circ}

\Rightarrow β = 90^{\circ} - α

\Rightarrow β = 90 - α = 90 - 71, 04 = 18, 96^{\circ}

\Rightarrow

Die Innenwinkel des Dreiecks

A B S

sind

α = 71, 04^{\circ}

β = 18, 96^{\circ}

und

γ = 90^{\circ}

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Themen dieser Aufgabe:

Innenwinkel eines Dreiecks

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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