Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik GK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1b (6 BE)

Bestimmen Sie die Koordinaten des Fußpunktes

F

des Lotes vom Punkt

S

auf die Ebene

E

sowie den Abstand

d

des Punktes

S

von der Ebene

E

.

[Ergebnis:

F = B; d = 12

]

Lösung zu Teilaufgabe 1b

Lotfußpunkt auf eine Ebene

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

S (3 | 7 | - 11)

E^{N} : x_{1} + 2 x_{2} - 2 x_{3} - 3 = 0

\Rightarrow

\vec{n_{E}} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix})

(s. Teilaufgabe 1a)

Gleichung der Lotgeraden aufstellen:

Schritt einblenden / ausblenden

Lotgerade auf einer Ebene

Eine Gerade

l

ist durch einen Ortsvektor

\vec{P}

und einen Richtungsvektor

\vec{v}

eindeutig bestimmt:

l : \vec{X} = \vec{P} + λ \cdot \vec{v}

λ \in ℝ

Die Lotgerade

l

geht durch den Punkt

S

und steht senkrecht zur Ebene

E

. Der Ortsvektor des Aufpunkts ist somit

\vec{S}

und der Richtungsvektor ist gleich dem Normalenvektor der Ebene

\vec{n_{E}}

, da dieser senkrecht zur Ebene

E

steht.

l : \vec{X} = \vec{S} + λ \cdot \vec{n_{E}}

λ \in ℝ

l : \vec{X} = (\begin{matrix} 3 \\ 7 \\ - 11 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix})

λ \in ℝ

Schnitt Ebene und Gerade

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Ebene

E

mit Lotgerade

l

schneiden:

Schritt einblenden / ausblenden

Schnitt Ebene und Gerade

Schneidet eine Gerade

l : \vec{X} = \vec{P} + λ \cdot \vec{v}

eine Ebene

E^{N}

in einem Punkt

F

, dann erfüllt die Geradengleichung für ein bestimmten Wert von

λ

(von

l

) die Normalenform der Ebene

E^{N}

.

Man setzt

l

E^{N}

ein und löst nach

λ

auf.

E \cap l

l : \vec{X} = (\begin{matrix} 3 \\ 7 \\ - 11 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix})

\begin{matrix} x_{1} = 3 + λ \\ x_{2} = 7 + 2 λ \\ x_{3} = - 11 - 2 λ \end{matrix}

E^{N} : x_{1} + 2 x_{2} - 2 x_{3} - 3 = 0

einsetzen:

(3 + λ) + 2 \cdot (7 + 2 λ) - 2 \cdot (- 11 - 2 λ) - 3 = 0

3 + λ + 14 + 4 λ + 22 + 4 λ - 3 = 0

9 λ = - 36

λ = - 4

λ = - 4

in die Geradengleichung einsetzen:

\vec{F} = (\begin{matrix} 3 \\ 7 \\ - 11 \end{matrix}) - 4 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{matrix}) = \vec{B}

\Rightarrow

Der Fußpunkt

F

des Lotes vom Punkt

S

auf die Ebene

E

ist

B (- 1 | - 1 | - 3)

Abstand Punkt - Ebene

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Betrag des Normalenvektors bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

| \vec{n_{E}} | = \sqrt{{(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + (- 2)^{2}} = \sqrt{9} = 3

Hesse-Normalenform

E^{H N F}

der Ebene

E

aufstellen:

Schritt einblenden / ausblenden

Hesse-Normalenform der Ebene

Die Hesse-Normalenform

E^{HNF}

einer Ebene

E

entsteht durch Teilung der Normalenform der Ebene

E

mit dem Betrag des Normalenvektors

| \vec{n_{E}} |

.

Beispiel:

E : x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} - 4 = 0

\vec{n_{E}} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})

\Rightarrow

| \vec{n_{E}} | = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3

E^{HNF} : \frac{1}{3} \cdot (x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} - 4) = 0

E^{H N F} : \frac{1}{3} (x_{1} + 2 x_{2} - 2 x_{3} - 3) = 0

Abstand des Punktes

S

von der Ebene

E

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Abstand Punkt - Ebene

Durch Einsetzen der Koordinaten eines Punktes

P

in die Hesse-Normalenform

E^{HNF}

der Ebene

E

(zwischen Betragsstriche), bestimmt man den Abstand

d (P, E)

des Punktes zur Ebene.

Beispiel:

E^{HNF} : \frac{1}{3} \cdot (x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} - 4) = 0

P (1 | 3 | - 6)

d (P, E) = | \frac{1}{3} \cdot (1 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot (- 6) - 4) | = | - \frac{9}{3} | = 3

d (S, E) = | \frac{1}{3} \cdot (3 + 2 \cdot 7 + 2 \cdot 11 - 3) | = 12

\Rightarrow

Der Abstand des Punktes

S

zur Ebene

E

beträgt 12 LE (Längeneinheiten).

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 2d

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Lotfußpunkt auf eine Ebene

Schnitt Ebene und Gerade

Abstand Punkt - Ebene

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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