Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik GK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1d (5 BE)

Berechnen Sie den Abstand

d (g, h)

der Geraden

g

und

h

.

[Ergebnis:

d (g, h) = 3 \sqrt{17}

]

Lösung zu Teilaufgabe 1d

Abstand paralleler Geraden

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

A (- 3 | 2 | - 1), B (- 1 | - 1 | - 3)

h : \vec{x} = (\begin{matrix} 7 \\ 4 \\ 6 \end{matrix}) + λ \cdot \underset{\vec{u}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})}}

Hilfsebene

H

durch

A

senkrecht zu

h

Schritt einblenden / ausblenden

Ebenengleichung

Eine Ebene

H

ist durch einen Punkt

P

und einen Normalenvektor

\vec{n_{H}}

eindeutig bestimmt. Die Ebenengleichung (in Normalenform) lautet:

H^{N} : [\vec{X} - \vec{O P}] \circ \vec{n_{H}} = 0

Hier ist der Normalenvektor gleich dem Richtungsvektor der Geraden

h

, da die Ebene senkrecht zu ihr stehen soll:

\vec{n_{H}} = \vec{u}

H : [\vec{X} - (\begin{matrix} - 3 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix})] \circ (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}) = 0

H : - 2 x_{1} + 3 x_{2} + 2 x_{2} - 10 = 0

Ebene

H

mit Gerade

h

schneiden:

Schritt einblenden / ausblenden

Schnitt Ebene und Gerade

Schneidet eine Gerade

h : \vec{X} = \vec{P} + λ \cdot \vec{u}

eine Ebene

H^{N}

in einem Punkt

C

, dann erfüllt die Geradengleichung für ein bestimmten Wert von

λ

(von

h

) die Normalenform der Ebene

H^{N}

.

Man setzt

h

H^{N}

ein und löst nach

λ

auf.

H \cap h

h : \vec{X} = (\begin{matrix} 7 \\ 4 \\ 6 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})

\begin{matrix} x_{1} = 7 - 2 λ \\ x_{2} = 4 + 3 λ \\ x_{3} = 6 + 2 λ \end{matrix}

H^{N} : - 2 x_{1} + 3 x_{2} + 2 x_{3} - 10 = 0

einsetzen:

- 2 \cdot (7 - 2 λ) + 3 \cdot (4 + 3 λ) + 2 \cdot (6 + 2 λ) - 10 = 0

- 14 + 4 λ + 12 + 9 λ + 12 + 4 λ - 10 = 0

17 λ = 0

λ = 0

λ = 0

in die Geradengleichung einsetzen:

\vec{C} = (\begin{matrix} 7 \\ 4 \\ 6 \end{matrix}) + 0 \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})

\vec{C} = (\begin{matrix} 7 \\ 4 \\ 6 \end{matrix})

\Rightarrow

Die Ebene

H

schneidet die Gerade

h

im Punkt

C (7 | 4 | 6)

Abstand der Geraden

g

und

h

bestimmen:

\vec{A C} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{matrix} 7 \\ 4 \\ 6 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 3 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 10 \\ 2 \\ 7 \end{matrix})

d (g, h) = | \vec{A C} |

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

= \sqrt{{(\begin{matrix} 10 \\ 2 \\ 7 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{100 + 4 + 49} = \sqrt{153} = 3 \sqrt{17}

\Rightarrow

Der Abstand zwischen den Geraden

g

und

h

ist gleich

3 \sqrt{17}

LE (Längeneinheiten)

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Themen dieser Aufgabe:

Abstand paralleler Geraden

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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