Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik GK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2c (4 BE)

Begründen Sie, dass der Punkt

C

im Inneren des in Teilaufgabe 2b beschriebenen Rotationskörpers liegt.

Lösung zu Teilaufgabe 2c

Lage eines Punktes

B (- 5 | 5 | 2)

C (- 2 | 1 | 2)

M (0 | 0 | 2)

x_{3_{M}} = x_{3_{C}} = x_{3_{B}} = 2

\Rightarrow

C

liegt auf der gleichen Dreh-Höhe

x_{3} = 2

wie

B

Länge eines Vektors

r_{B} = | \vec{M B} | = 5 \sqrt{2}

(siehe Teilaufgabe 2b)

r_{C} = | \vec{M C} | = | \vec{C} - \vec{M} | = | (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) | = | (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) |

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

= \sqrt{4 + 1 + 0}

= \sqrt{5}

\sqrt{5} < 2 \sqrt{5}

\Rightarrow

r_{C} < r_{B}

Der Punkt

C

liegt näher an der

x_{3}

-Achse (Drehachse) als der Punkt

B

\Rightarrow C

liegt im Inneren des Rotationskörpers

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Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

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Themen dieser Aufgabe:

Lage eines Punktes

Länge eines Vektors

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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