Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik GK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2a (8 BE)

Das Parallelogramm

O A B C

aus Aufgabe 1 sei nun die Grundfläche einer vierseitigen Pyramide, deren Spitze

S

auf der positiven

x_{3}

-Achse liegt.

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes

S

so, dass die Pyramide

O A B C S

den Rauminhalt

\frac{50}{3}

besitzt. Zeichnen Sie die Pyramide in das Koordinatensystem aus Teilaufgabe 1c ein.

Lösung zu Teilaufgabe 2a

Abstand Punkt - Ebene

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

E : 8 x_{1} + 6 x_{2} + 5 x_{3} = 0

(siehe Teilaufgabe 1a)

\Rightarrow

\vec{n_{E}} = (\begin{matrix} 8 \\ 6 \\ 5 \end{matrix})

Normalenvektor der Ebene

Betrag des Normalenvektors:

| \vec{n_{E}} | = 5 \sqrt{5}

(siehe Teilaufgabe 1e)

Hesse-Normalenform

E^{H N F}

der Ebene aufstellen:

Schritt einblenden / ausblenden

Hesse-Normalform der Ebene

Die Hesse-Normalenform

E^{H N F}

einer Ebene

E

entsteht durch Teilung der Normalenform der Ebene

E

mit dem Betrag des Normalenvektors.

E : \vec{X} \circ \vec{n_{E}} - d = 0

\Rightarrow E^{H N F} : \frac{\vec{X} \circ \vec{n_{E}} - d}{| \vec{n_{E}} |} = 0

d

ist das Ergebnis des Skalarprodukts aus

\vec{n_{E}}

und dem Ortsvektor des Aufpunkts von

E

E^{H N F} : \frac{1}{5 \sqrt{5}} (8 x_{1} + 6 x_{2} + 5 x_{3}) = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Die Spitze

S

der Pyramide liegt auf der positiven

x_{3}

-Achse.
Die

x_{1}

- und

x_{2}

-Koordinaten von

S

sind somit gleich Null.
Wir bezeichnen die

x_{3}

-Koordinate von

S

als

s_{3}

S (0 | 0 | s_{3})

Spitze der Pyramide

O A B C S

.

Höhe

h_{P y r}

der Pyramide bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Die Grundfläche der Pyramide ist das Parallelogramm

O A B C

welches in der Ebene

E_{O A C}

liegt.
Somit ist die Höhe der Pyramide gleich dem Abstand des Punktes

S

zur Ebene

E_{O A C}

h_{P y r} = d (S, E)

Schritt einblenden / ausblenden

Abstand Punkt - Ebene

Durch Einsetzen der Koordinaten eines Punktes

P

in die Hesse-Normalenform

E^{H N F}

der Ebene

E

(zwischen Betragsstriche), bestimmt man den Abstand des Punktes zur Ebene.

E^{H N F} : \frac{\vec{X} \circ \vec{n_{E}} - d}{| \vec{n_{E}} |} = 0

\Rightarrow d (P, E) = | \frac{\vec{P} \circ \vec{n_{E}} - d}{| \vec{n_{E}} |} |

d

ist das Ergebnis des Skalarprodukts aus

\vec{n_{E}}

und dem Ortsvektor des Aufpunkts von

E

h_{P y r} = \frac{1}{5 \sqrt{5}} (8 \cdot 0 + 6 \cdot 0 + 5 s_{3}) = \frac{5 s_{3}}{5 \sqrt{5}}

Volumen einer Pyramide

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

G_{P y r} = A_{O A B C} = 5 \sqrt{5}

Grundfläche der Pyramide (siehe Teilaufgabe 1e)

Volumen bestimmen:

V_{P y r} = \frac{1}{3} \cdot G_{P y r} \cdot h_{P y r}

= \frac{1}{3} \cdot 5 \sqrt{5} \cdot \frac{5 \cdot s_{3}}{5 \sqrt{5}}

= \frac{5}{3} \cdot s_{3}

Das Volumen soll

\frac{50}{3}

betragen:

\frac{5}{3} \cdot s_{3} = \frac{50}{3}

\Rightarrow s_{3} = 10

\Rightarrow S (0 | 0 | 10)

Skizze

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Alternative Lösung

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Bestimmung über das Spatprodukt:

V_{O A B C S} = \frac{50}{3}

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Die vierseitige Pyramide

O A B C S

besteht aus den zwei dreiseitigen Pyramiden

O A C S

und

A B C S

V_{O A C S} + V_{A B C S} = \frac{50}{3}

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Da die Punkte

O

A

B

und

C

ein Parallelogramm bilden und alle in der gleichen Ebene

E

liegen, haben die Pyramiden

O A C S

und

A B C S

das gleiche Volumen.

2 \cdot V_{O A C S} = \frac{50}{3}

Schritt einblenden / ausblenden

Volumen einer Pyramide

Volumen eines Spats (Spatprodukt)

Das Volumen einer (dreiseitigen) Pyramide, die durch die Vektoren

\vec{a}

\vec{b}

, und

\vec{c}

festgelegt wird, ist gegeben durch die Formel:

V = \frac{1}{6} \cdot | (\vec{a} \times \vec{b}) \circ \vec{c} |

2 \cdot \frac{1}{6} | (\vec{O A} \times \vec{O C}) \circ \vec{O S} | = \frac{50}{3}

\frac{1}{3} | [(\begin{matrix} - 3 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 7 \end{matrix})] \circ (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ x_{3} \end{matrix}) | = \frac{50}{3}

\frac{1}{3} | (\begin{matrix} 8 \\ 6 \\ 5 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ x_{3} \end{matrix}) | = \frac{50}{3}

\frac{1}{3} \cdot 5 x_{3} = \frac{50}{3}

\Rightarrow

x_{3} = 10

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 1e

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Abstand Punkt - Ebene

Volumen einer Pyramide

Skizze

Alternative Lösung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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