Abitur 2009 Mathematik GK Analytische Geometrie V

In einem kartesischen Koordinatensystem mit Ursprung

O

sind die Punkte

A (- 3 | 4 | 0)

und

C (- 2 | 1 | 2)

gegeben.

Teilaufgabe 1a (4 BE)

Die Punkte

O, A

und

C

legen die Ebene

E

fest. Bestimmen Sie eine Gleichung von

E

in Normalenform.
[Zur Kontrolle:

E : 8 x_{1} + 6 x_{2} + 5 x_{3} = 0

]

Teilaufgabe 1b (3 BE)

Z

sei der Mittelpunkt der Strecke

[A C]

. Durch Spiegelung des Ursprungs

O

Z

entsteht der Punkt

B

. Berechnen Sie die Koordinaten von

B

.
[Ergebnis:

B (- 5 | 5 | 2)

]

Teilaufgabe 1c (6 BE)

Berechnen Sie den Innenwinkel

φ

des Vierecks

O A B C

bei

O

und begründen Sie, dass dieses Viereck ein Parallelogramm ist. Zeichnen Sie das Parallelogramm in ein Koordinatensystem ein (vgl. Skizze; Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende:

- 1 \leq x_{3} \leq 11

Teilaufgabe 1d (7 BE)

Stellen Sie eine Gleichung der Geraden

g = O A

auf. Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat

g

? Das Lot vom Punkt

C

auf die Gerade

g

schneidet

g

im Punkt

F

. Berechnen Sie die Koordinaten von

F

. Zeichnen Sie das Lot in das Koordinatensystem aus Teilaufgabe 1c ein.
[Teilergebnis:

F (- 1, 2 | 1, 6 | 0)

]

Teilaufgabe 1e (4 BE)

Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt des Parallelogramms

O A B C 5 \sqrt{5}

beträgt.

Das Parallelogramm

O A B C

aus Aufgabe 1 sei nun die Grundfläche einer vierseitigen Pyramide, deren Spitze

S

auf der positiven

x_{3}

-Achse liegt.

Teilaufgabe 2a (8 BE)

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes

S

so, dass die Pyramide

O A B C S

den Rauminhalt

\frac{50}{3}

besitzt. Zeichnen Sie die Pyramide in das Koordinatensystem aus Teilaufgabe 1c ein.

Teilaufgabe 2b (4 BE)

Die Pyramide rotiert nun um ihre Kante

O S

. Der Eckpunkt

B

bewegt sich dabei auf einem Kreis. Geben Sie die Koordinaten des Mittelpunkts

M

dieses Kreises an und berechnen Sie seinen Radius

r

Teilaufgabe 2c (4 BE)

Begründen Sie, dass der Punkt

C

im Inneren des in Teilaufgabe 2b beschriebenen Rotationskörpers liegt.

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 1e

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Lösung als Video:

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