Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik GK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1d (7 BE)

Stellen Sie eine Gleichung der Geraden

g = O A

auf. Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat

g

? Das Lot vom Punkt

C

auf die Gerade

g

schneidet

g

im Punkt

F

. Berechnen Sie die Koordinaten von

F

. Zeichnen Sie das Lot in das Koordinatensystem aus Teilaufgabe 1c ein.
[Teilergebnis:

F (- 1, 2 | 1, 6 | 0)

]

Lösung zu Teilaufgabe 1d

Geradengleichung aufstellen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

O (0 | 0 | 0)

A (- 3 | 4 | 0)

\vec{O}

Ortsvektor der Geraden

g

\vec{O A} = (\begin{matrix} - 3 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})

Richtungsvektor der Geraden

g

Geradengleichung:

g : \vec{X} = \vec{O} + γ \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) = γ \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})

Besondere Lage im Koordinatensystem

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Die Gerade

g

verläuft durch den Ursprung

O

und liegt in der

x_{1} x_{2}

-Ebene (

x_{3}

-Koordinate ist Null)

Lotfußpunkt auf eine Gerade

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

C (- 2 | 1 | 2)

Schritt einblenden / ausblenden

Lotfußpunkt

Um den Punkt

F

des Lotes von

C

auf

g

zu bestimmen, bildet man zuerst eine Hilfsebene, die durch

C

geht und senkrecht zu

g

steht. Diese Ebene scheidet somit die Gerade

g

im Lotfußpunkt

F

Hilfsebene

H

durch

C

senkrecht zu

g

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Die Ebene

H

soll senkrecht zu

g

sein. Der Normalenvektor der Ebene ist also gleich dem Richtungsvektor der Geraden.

\vec{n_{H}} = \vec{O A} = (\begin{matrix} - 3 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Normalenform einer Ebene

Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt

P

aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt.

E : \vec{n_{E}} \circ \vec{X} = \vec{n_{E}} \circ \vec{P}

Hier (

C

ist Aufpunkt):

H : (\begin{matrix} - 3 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) \circ \vec{X} = (\begin{matrix} - 3 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

H : - 3 x_{1} + 4 x_{2} = 10

Hilfsebene

H

mit

g

schneiden:

g \cap H

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

Schnitt Ebene und Gerade

Schneidet eine Gerade

g : \vec{X} = \vec{P} + λ \cdot \vec{v}

eine Ebene

E

in einem Punkt

P

, dann erfüllt die Geradengleichung für ein bestimmten Wert von

λ

(von

g

) die Normalenform der Ebene

E

.

Man setzt

g

E

ein und löst nach

λ

auf.

Hier wird also

g

H

eingesetzt und nach

γ

aufgelöst.

- 3 \cdot (- 3 γ) + 4 \cdot (4 γ) = 10

9 γ + 16 γ = 10

\Rightarrow

γ = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}

Lotfußpunkt

F

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

Der berechnete Wert für

γ

wird in die Geradengleichung eingesetzt.

\vec{F} = \frac{2}{5} \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 6 / 5 \\ 8 / 5 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1, 2 \\ 1, 6 \\ 0 \end{matrix})

\Rightarrow F (- 1, 2 | 1, 6 | 0)

Lotfußpunkt

Skizze

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 1e

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Geradengleichung aufstellen

Besondere Lage im Koordinatensystem

Lotfußpunkt auf eine Gerade

Skizze

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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