Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik GK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1e (4 BE)

Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt des Parallelogramms

O A B C 5 \sqrt{5}

beträgt.

Lösung zu Teilaufgabe 1e

Flächeninhalt eines Vierecks

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

\vec{O A} = (\begin{matrix} - 3 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})

\vec{O C} = (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

Flächeninhalt

A_{0 A B C}

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt eines Rechtecks/Parallelogramms

Vektorprodukt

Der Flächeninhalt eines Rechtecks/Parallelogramms

A B C D

ist gegeben durch die Formel:

A = | \vec{A B} \times \vec{A C} |

A_{0 A B C} = | \vec{O A} \times \vec{O C} |

A_{0 A B C} = | (\begin{matrix} - 3 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) | = | (\begin{matrix} 8 \\ 6 \\ 5 \end{matrix}) |

(siehe Teilaufgabe 1a)

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

A_{0 A B C} = \sqrt{64 + 36 + 25} = \sqrt{125} = 5 \sqrt{5}

Alternative Lösung

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

F (- 1, 2 | 1, 6 | 0)

(siehe Teilaufgabe 1d)

| \vec{O A} | = 5

(siehe Teilaufgabe 1c)

\vec{C F} = \vec{O F} - \vec{O C} = (\begin{matrix} - 1, 2 \\ 1, 6 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0, 8 \\ 0, 6 \\ - 2 \end{matrix})

Höhe

h

des Parallelogramms

O A B C

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

[C F]

ist die Höhe zur Seite

[O A]

des Parallelogramms

O A B C

, da

F

Fußpunkt des Lotes von

C

auf

g = O A

(siehe Teilaufgabe 1d).

h = | \vec{C F} |

= \sqrt{{(\begin{matrix} 0, 8 \\ 0, 6 \\ - 2 \end{matrix})}^{2}}

= \sqrt{(0, 8)^{2} + (0, 6)^{2} + (- 2)^{2}}

= \sqrt{0, 64 + 0, 36 + 4}

= \sqrt{5}

Fläche

A_{O A B C}

des Parallelogramms

O A B C

bestimmen:

A_{O A B C} = | \vec{O A} | \cdot | \vec{C F} |

= 5 \cdot \sqrt{5}

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Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

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Teilaufgabe 2b

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