Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik GK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1c (6 BE)

Berechnen Sie den Innenwinkel

φ

des Vierecks

O A B C

bei

O

und begründen Sie, dass dieses Viereck ein Parallelogramm ist. Zeichnen Sie das Parallelogramm in ein Koordinatensystem ein (vgl. Skizze; Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende:

- 1 \leq x_{3} \leq 11

Lösung zu Teilaufgabe 1c

Skizze

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Winkel zwischen zwei Vektoren

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A (- 3 | 4 | 0)

C (- 2 | 1 | 2)

B (- 5 | 5 | 2)

φ

ist der Winkel zwischen den Vektoren

\vec{O A}

und

\vec{O C}

.

Länge der Vektoren bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

| \vec{O A} | = \sqrt{{(\begin{matrix} - 3 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{(- 3)^{2} + 4^{2} + 0^{2}} = \sqrt{25} = 5

| \vec{O C} | = \sqrt{{(\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{(- 2)^{2} + 1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9} = 3

Winkel

φ

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Skalarprodukt

Winkel zwischen zwei Vektoren

Aus der allgemeinen Definition des Skalarproduktes zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

\vec{a} \circ \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos \underset{α}{\underset{︸}{∡ (\vec{a}, \vec{b})}}

folgt für den Winkel

α

zwischen den beiden Vektoren:

\cos α = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}

(Formel zur Winkelberechnung zwischen 2 Vektoren)

c o s φ = \frac{(\begin{matrix} - 3 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})}{5 \cdot 3} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}

\Rightarrow

φ = \cos^{- 1} (\frac{2}{3}) \approx 48, 2^{\circ}

Eigenschaften eines Parallelogramms

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Das Viereck

O A B C

ist ein Parallelogramm, da

Z

Mittelpunkt beider Diagonalen

[A C]

und

[O B]

ist.

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Teilaufgabe 1a

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Themen dieser Aufgabe:

Skizze

Winkel zwischen zwei Vektoren

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