Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik LK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3 (7 BE)

K

sei die Kugel, die den Punkt

M

aus Teilaufgabe 1b als Mittelpunkt und den Radius

r = 3

hat. Sie wird durch eine zentrische Streckung mit

A

als Zentrum und dem Streckungsfaktor

- 2

auf die Kugel

K^{'}

abgebildet.
Ermitteln Sie die Koordinaten des Mittelpunkts

M^{'}

von

K^{'}

sowie den maximalen Abstand, den zwei Punkte

P

und

P^{'}

haben können, wenn

P

auf

K

und

P^{'}

auf

K^{'}

liegt.

Lösung zu Teilaufgabe 3

Lage eines Punktes

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

\vec{M A} = \vec{O A} - \vec{O M} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 4 \end{matrix})

Punkt

M^{'}

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Zentrische Streckung

Für eine zentrische Streckung mit Streckungszentrum

A

und Streckungsfaktor

m

gilt:

Die Streckenlänge

\bar{A M^{'}}

ist gleich dem

| m |

-fachen der Streckenlänge

\bar{A M}

für einen Punkt

M

und dessen Bildpunkt

M^{'}

.

In diesem Fall ist der Abstand zwischen dem Mittelpunkt

M^{'}

der Kugel

K^{'}

und dem Punkt

A

gleich

| - 2 | \cdot \bar{A M}

.

In Vektorschreibweise gilt also:

\vec{O M^{'}} = \vec{O A} - 2 \cdot \vec{A M} = \vec{O A} + 2 \cdot \vec{M A}

\vec{O M^{'}} = \vec{O A} + 2 \cdot \vec{M A} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 11 \end{matrix})

\Rightarrow M^{'} (- 1 | 0 | 11)

Abstand zweier Punkte

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

r = 3

r^{'} = 2 r = 6

\vec{M M^{'}} = \vec{O M^{'}} - \vec{O M} = (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 11 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 3 \\ - 3 \\ 12 \end{matrix})

Abstand zwischen den Mittelpunkten bestimmen:

\bar{M M^{'}} = | \vec{M M^{'}} | | = | (\begin{matrix} - 3 \\ - 3 \\ 12 \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} - 3 \\ - 3 \\ 12 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{(- 3)^{2} + (- 3)^{2} + 12^{2}} = \sqrt{162} = 9 \sqrt{2}

Abstand zwischen

P

und

P^{'}

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

\bar{P P^{'}} = \bar{M M^{'}} + r^{'} + r = 9 \sqrt{2} + 6 + 3 = 9 (\sqrt{2} + 1)

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

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Teilaufgabe 2d

Teilaufgabe 3

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Lage eines Punktes

Abstand zweier Punkte

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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