Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik LK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2b (3 BE)

Bestimmen Sie

t

so, dass das Parallelflach ein Quader ist.

Lösung zu Teilaufgabe 2b

Lagebeziehung Gerade und Ebene

D (- 1 | 6 | - 1), S_{t} (1 - t | 8 | t)

\vec{n_{E}} = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})

Normalenvektor der Ebene

E_{A B D}

(siehe Teilaufgabe 1a)

\vec{D S_{t}} = \vec{O S_{t}} - \vec{O D} = (\begin{matrix} 1 - t \\ 8 \\ t \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 1 \\ 6 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 - t \\ 2 \\ t + 1 \end{matrix})

Es muss gelten:

Schritt einblenden / ausblenden

Normalenvektor

Das Parallelflach wird zum Quader wenn die Seiten senkrecht zur Grundfläche stehen.

Der Vektor

D S_{t}

ist dann parallel zum Normalenvektor der Ebene

E_{A B D}

, also gleich einem Vielfach davon.

\vec{D S_{t}} = λ \cdot \vec{n_{E}}

(\begin{matrix} 2 - t \\ 2 \\ t + 1 \end{matrix}) = λ \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})

\Leftrightarrow

\begin{matrix} (I) \\ (I I) \\ (I I I) \end{matrix}

\begin{matrix} 2 - t & = & 2 λ \\ 2 & = & 2 λ \\ t + 1 & = & λ \end{matrix}

Aus der II. Gleichung folgt:

2 = 2 λ \Rightarrow λ = 1

In die III. Gleichung einsetzen:

t + 1 = 1 \Rightarrow t = 0

Kontrolle in der I. Gleichung:

2 - 0 = 2 \cdot 1 \Leftrightarrow 2 = 2

Für

t = 0

ist das Parallelflach ein Quader.

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

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Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 2d

Teilaufgabe 3

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Lagebeziehung Gerade und Ebene

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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