Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik LK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2c (7 BE)

Nun sei

t = 1

. Die durch die Punkte

A, D

und

S_{1}

festgelegte
Seitenfläche des Parallelflachs liegt in der Ebene

F : 2 x_{1} - x_{3} + 1 = 0

Im Punkt

T (1 | 5 | 3)

dieser Seitenfläche wird ein Lot errichtet.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes

U

, in dem das Lot die Ebene

E

schneidet, und zeigen Sie, dass

U

nicht im Innern des Quadrats

A B C D

liegt.

Lösung zu Teilaufgabe 2c

Lotfußpunkt auf eine Ebene

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

F : 2 x_{1} - x_{3} + 1 = 0

\Rightarrow \vec{n_{F}} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})

Normalenvektor der Ebene

F

T (1 | 5 | 3)

Gleichung der Lotgerade aufstellen:

Schritt einblenden / ausblenden

Lotgerade auf einer Ebene

Die Lotgerade

l

steht senkrecht zur Ebene

F

und geht durch den Punkt

T

. Ihr Richtungsvektor ist also parallel zum Normalenvektor der Ebene.

\Rightarrow l : \vec{x} = \vec{O T} + σ \cdot \vec{n_{F}}

l : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 3 \end{matrix}) + σ \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})

Schnitt Ebene und Gerade

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

E_{A B D} : \vec{x} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) = 9

(siehe Teilaufgabe 1a)

Gesucht ist

l \cap E_{A B D}

Schritt einblenden / ausblenden

Schnitt Ebene und Gerade

Schneidet eine Gerade

g : \vec{x} = \vec{x_{0}} + λ \cdot \vec{a}

eine Ebene

E : \vec{x} \cdot {\vec{n}}_{E} = c

, dann erfüllt die Geradengleichung für ein bestimmten Wert von

λ

die Normalenform der Ebene

E

. Man setzt

g

E

ein:

[\vec{x_{0}} + λ \cdot \vec{a}] \cdot {\vec{n}}_{E} = c

[(\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 3 \end{matrix}) + σ \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) = 9

\Rightarrow (1 + 2 σ) \cdot 2 + (5 + 0 \cdot σ) \cdot 2 + (3 - σ) \cdot 1 = 9

\Rightarrow 2 + 4 σ + 10 + 3 - σ = 9

\Rightarrow 3 σ = - 6

\Rightarrow σ = - 2

σ = - 2

in die Geradengleichung einsetzen:

\vec{O U} = (\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 3 \end{matrix}) - 2 \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 3 \\ 5 \\ 5 \end{matrix})

Das Lot

l

schneidet die Ebene

E_{A B D}

im Punkt

U (- 3 | 5 | 5)

Lage eines Punktes

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Parameterform der Ebene

E_{A B D}

(siehe Teilaufgabe 1a):

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Die Richtungsvektoren der Ebene

E_{A B D}

sind

\vec{A B}

und

\vec{A D}

\vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) + ρ \cdot (\begin{matrix} 4 \\ - 2 \\ - 4 \end{matrix}) + τ \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 4 \\ - 4 \end{matrix})

U \in E_{A B D}

gilt:

(\begin{matrix} - 3 \\ 5 \\ 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) + ρ \cdot (\begin{matrix} 4 \\ - 2 \\ - 4 \end{matrix}) + τ \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 4 \\ - 4 \end{matrix})

α

und

β

bestimmen:

\begin{matrix} (I) \\ (I I) \\ (I I I) \end{matrix}

\begin{matrix} - 3 & = & 1 + 4 ρ - 2 τ \\ 5 & = & 2 - 2 ρ + 4 τ \\ 5 & = & 3 - 4 ρ - 4 τ \end{matrix}

Gleichung (I) durch 2 teilen

\begin{matrix} (I) \\ (I I) \\ (I I I) \end{matrix}

\begin{matrix} - 2 & = & 2 ρ - τ \\ 3 & = & - 2 ρ + 4 τ \\ 2 & = & - 4 ρ - 4 τ \end{matrix}

Gleichung (I) zur Gleichung (II) addieren

1 = 3 τ \Rightarrow τ = \frac{1}{3}

τ

in Gleichung (II) einsetzen:

3 = - 2 ρ + 4 \cdot \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{5}{3} = - 2 ρ \Rightarrow ρ = - \frac{5}{6}

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Jeder Punkt

U

auf der Ebene

E_{A B D}

kann geschrieben werden als Summe von:

\vec{O U} = \vec{O A} + ρ \cdot \vec{A B} + τ \cdot \vec{A D}

Liegt der Punkt

U

im Quadrat

A B C D

, so müssen die Werte der Parameter

ρ

und

τ

zwischen 0 und 1 liegen.

\Rightarrow

Der Punkt

U

liegt nicht im Inneren des Quadrates.

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 2d

Teilaufgabe 3

Lösung als Video:

Lösung als Video

Themen dieser Aufgabe:

Lotfußpunkt auf eine Ebene

Schnitt Ebene und Gerade

Lage eines Punktes

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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