Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik LK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1a (5 BE)

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des

ℝ^{3}

die Punkte

A (1 | 2 | 3), B (5 | 0 | - 1)

und

D (- 1 | 6 | - 1)

sowie

S_{t} (1 - t | 8 | t)

mit

t \in ℝ ∖ {9}

als Parameter.

Zeigen Sie, dass die Punkte

A, B

und

D

eine Ebene

E

bestimmen, und ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene

E

in Normalenform.

[Zur Kontrolle:

E : 2 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} - 9 = 0

]

Lösung zu Teilaufgabe 1a

Ebene aus drei Punkte

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

A (1 | 2 | 3), B (5 | 0 | - 1), D (- 1 | 6 | - 1)

Richtungsvektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

der Ebene

E_{A B D}

bestimmen:

\vec{a} = \vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A} = (\begin{matrix} 5 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ - 2 \\ - 4 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Vereinfachen

Die Länge eines Richtungsvektor ist nicht entscheidend für die Ebenengleichung.
Vereinfachungen durch Ausklammern eines gemeinsamen Faktors bzw. Teilen durch einen Faktor sind erlaubt.

Hier wird der Richtungsvektor durch

- 2

geteilt.

\vec{a} = (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

\vec{b} = \vec{A D} = \vec{O D} - \vec{O A} = (\begin{matrix} - 1 \\ 6 \\ - 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ 4 \\ - 4 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Vereinfachen

- 2

geteilt.

\vec{b} = (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix})

\vec{a}

und

\vec{b}

sind linear unabhängig, also liegen die Punkte

A, B

und

D

nicht auf einer Geraden und definieren somit einen Ebene

E

Ortsvektor

\vec{x_{0}}

der Ebene

E_{A B D}

ist

\vec{O A} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Ebenengleichung

Eine Ebene

E

ist durch einen Ortsvektor

\vec{x_{0}}

und zwei Richtungsvektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

eindeutig bestimmt.

Die Ebenengleichung lautet:

E : \vec{x_{0}} + α \cdot \vec{a} + β \cdot \vec{b}

mit

α, β \in ℝ

\Rightarrow E_{A B C} : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) + α \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) + β \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix})

Ebenengleichung in Normalenform

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Normalenvektor der Ebene

E_{A B D}

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Vektorprodukt

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} det (\begin{matrix} a_{2} & b_{2} \\ a_{3} & b_{3} \end{matrix}) \\ det (\begin{matrix} a_{3} & b_{3} \\ a_{1} & b_{1} \end{matrix}) \\ det (\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix}) \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} \\ a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} \\ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \end{matrix})

\vec{n_{E}} = \vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ 3 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

\vec{n_{E}} = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})

Normalenform der Ebene

E_{A B D}

aufstellen:

Schritt einblenden / ausblenden

Normalenform einer Ebene

Die Parameterform einer Ebene

E

lautet:

\vec{x} = \vec{x_{0}} + α \cdot \vec{a} + β \cdot \vec{b}

,

wobei

\vec{x_{0}}

der Ortsvektor ist.

Die Normalenform einer Ebene

E

entsteht durch Skalarprodukt mit dem Normalenvektor

\vec{n_{E}}

. Dieser steht senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

der Ebene

E

. Das Skalarprodukt zwischen 2 Vektoren, die senkrecht zueinander stehen, ist gleich

0

.

Es folgt also:

E : \vec{x} \cdot \vec{n_{E}} = (\vec{x_{0}} + α \cdot \vec{a} + β \cdot \vec{b}) \cdot \vec{n_{E}}

= \vec{x_{0}} \cdot \vec{n_{E}} + α \cdot \underset{= 0}{\underset{︸}{\vec{a} \cdot \vec{n_{E}}}} + β \cdot \underset{= 0}{\underset{︸}{\vec{b} \cdot \vec{n_{E}}}}

= \vec{x_{0}} \cdot \vec{n_{E}}

E_{A B D}^{N} : \vec{x} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})

E_{A B D}^{N} : \vec{x} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) = 9

E_{A B D}^{N} : 2 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} - 9 = 0

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Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

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Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 2d

Teilaufgabe 3

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Ebene aus drei Punkte

Ebenengleichung in Normalenform

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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