Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik LK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1c (5 BE)

Für welchen Wert von

t

ist die Entfernung von

S_{t}

M

minimal?

Lösung zu Teilaufgabe 1c

Abstand zweier Punkte

M (2 | 3 | - 1), S_{t} (1 - t | 8 | t)

\vec{M S_{t}} = \vec{O S_{t}} - \vec{O M} = (\begin{matrix} 1 - t \\ 8 \\ t \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 - t \\ 5 \\ t + 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - (t + 1) \\ 5 \\ t + 1 \end{matrix})

Abstand

d (t)

zwischen

S_{t}

und

M

bestimmen:

d (t) = \bar{M S_{t}} = \sqrt{{(\begin{matrix} - (t + 1) \\ 5 \\ t + 1 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{{[- (t + 1)]}^{2} + 5^{2} + (t + 1)^{2}} = \sqrt{25 + 2 (t + 1)^{2}}

Extremwertproblem

Erste Ableitung bilden:

d^{'} (t) = {(\sqrt{25 + 2 (t + 1)^{2}})}^{'} = {[{(25 + 2 (t + 1)^{2})}^{\frac{1}{2}}]}^{'}

Schritt einblenden / ausblenden

Kettenregel der Differenzialrechnung

f (x) = g (h (x)) \Rightarrow f^{'} (x) = g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x)

In diesem Fall ist

g (x) = \sqrt{\cdot}

und

h (x) = 25 + 2 (t + 1)^{2}

\Rightarrow g^{'} (x) = \frac{1}{2} \cdot (\cdot)^{- \frac{1}{2}}

\Rightarrow h^{'} (x) = 4 (t + 1)

= \frac{1}{2} \cdot {(25 + 2 (t + 1)^{2})}^{- \frac{1}{2}} \cdot 4 (t + 1)

= \frac{4 (t + 1)}{2 \sqrt{25 + 2 (t + 1)^{2}}}

Erste Ableitung Null setzen:

d^{'} (t) = 0

\Leftrightarrow 4 (t + 1) = 0

\Rightarrow t = - 1

Die Abstandsfunktion

d (t)

ist nach oben nicht beschränkt (in beiden Richtungen).

\Rightarrow t = - 1

ist ein Minimum.

\Rightarrow

Für

t = - 1

ist der Abstand zwischen

M

und

S_{t}

minimal.

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 2d

Teilaufgabe 3

Lösung als Video:

Lösung als Video

Themen dieser Aufgabe:

Abstand zweier Punkte

Extremwertproblem

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

Feedback:

Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?