Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik LK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1b (4 BE)

Weisen Sie nach, dass sich die Punkte

A, B

und

D

durch einen vierten Punkt

C

zu einem Quadrat

A B C D

ergänzen lassen, und berechnen Sie den Diagonalenschnittpunkt

M

dieses Quadrats.

[Teilergebnis:

M (2 | 3 | - 1)

]

Lösung zu Teilaufgabe 1b

Länge eines Vektors

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A (1 | 2 | 3), B (5 | 0 | - 1), D (- 1 | 6 | - 1)

Aus Aufgabenteil 1a):

\vec{A B} = (\begin{matrix} 4 \\ - 2 \\ - 4 \end{matrix})

\vec{A D} = (\begin{matrix} - 2 \\ 4 \\ - 4 \end{matrix})

Länge der Vektoren bestimmen:

\bar{A B} = | (\begin{matrix} 4 \\ - 2 \\ - 4 \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} 4 \\ - 2 \\ - 4 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{4^{2} + (- 2)^{2} + 4^{2}} = 6

\bar{A D} = | (\begin{matrix} - 2 \\ 4 \\ - 4 \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} - 2 \\ 4 \\ - 4 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{(- 2)^{2} + 4^{2} + (- 4)^{2}} = 6

\Rightarrow \bar{A B} = \bar{A D}

Die Vektoren sind gleich lang.

Winkel zwischen zwei Vektoren

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Winkel zwischen den zwei Vektoren bestimmen:

\vec{A B} \cdot \vec{A D} = (\begin{matrix} 4 \\ - 2 \\ - 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 4 \\ - 4 \end{matrix}) = 0

\Rightarrow \vec{A B}

liegt senkrecht auf

\vec{A D}

, die beiden Vektoren bilden also einen rechten Winkel.

\Rightarrow A, B

und

D

können durch einen vierten Punkt

C

zu einem Quadrat ergänzt werden.

Lage eines Punktes

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Punkt

C

bestimmen:

\vec{O C} = \vec{O B} + \vec{A D} = (\begin{matrix} 5 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} - 2 \\ 4 \\ - 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ - 5 \end{matrix})

\Rightarrow C (3 | 4 | - 5)

Mittelpunkt einer Strecke

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M

ist der Mittelpunkt der Strecke

[B D]

\vec{O M} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{O B} + \vec{O D}) = \frac{1}{2} \cdot [(\begin{matrix} 5 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} - 1 \\ 6 \\ - 1 \end{matrix})] = \frac{1}{2} \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 6 \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{matrix})

\Rightarrow M (2 | 3 | - 1)

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 2d

Teilaufgabe 3

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Länge eines Vektors

Winkel zwischen zwei Vektoren

Lage eines Punktes

Mittelpunkt einer Strecke

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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