Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik LK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2d (3 BE)

Ermitteln Sie den Schnittwinkel der Ebenen

E

und

F

Lösung zu Teilaufgabe 2d

Winkel zwischen zwei Ebenen

E : 2 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} - 9 = 0

F : 2 x_{1} - x_{3} + 1 = 0

Normalenvektoren der Ebenen:

\vec{n_{E}} = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})

\vec{n_{F}} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})

Länge der Normalenvektoren:

| \vec{n_{E}} | = | (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}} = 3

| \vec{n_{F}} | = | (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{2^{2} + 0^{2} + (- 1)^{2}} = \sqrt{5}

Winkel zwischen den Ebenen:

Schritt einblenden / ausblenden

∡ (E, F) = ∡ (\vec{n_{E}}, \vec{n_{F}})

Schritt einblenden / ausblenden

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

und

\vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})

ergibt sich aus der Summe der Komponenten der Vektoren:

\vec{a} \cdot \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}

Aus der allgemeinen Definition des Skalarproduktes folgt:

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | = \cos \underset{α}{\underset{︸}{∡ (\vec{a}, \vec{b})}}

\Rightarrow \cos α = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}

\cos ϕ = \frac{\vec{n_{E}} \cdot \vec{n_{F}}}{| \vec{n_{E}} | \cdot | \vec{n_{F}} |}

= \frac{(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})}{3 \cdot \sqrt{5}}

= \frac{3}{3 \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}

\Rightarrow ϕ \approx 63, 4^{\circ}

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Themen dieser Aufgabe:

Winkel zwischen zwei Ebenen

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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