Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik LK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2a (6 BE)

Das Quadrat

A B C D

als Begrenzungsfläche und die Strecke

[D S_{t}]

als Seitenkante bestimmen ein Parallelflach.

Berechnen Sie alle Werte von

t

, für die das Parallelflach den Rauminhalt

V = 144

hat.

Lösung zu Teilaufgabe 2a

Abstand Punkt - Ebene

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

S_{t} (1 - t | 8 | t)

E_{A B C D} : \vec{x} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) - 9 = 0

(siehe Teilaufgabe 1a)

Hesse-Normalenform der Ebene bilden:

Schritt einblenden / ausblenden

Hesse-Normalenform der Ebene

Die Hesse-Normalenform

E^{H N F}

einer Ebene

E

entsteht durch Teilung der Normalenform

E^{N}

der Ebene

E

mit dem Betrag des Normalenvektors.

E^{N} : \vec{X} \circ \vec{n_{E}} - d = 0

\Rightarrow E^{H N F} : \frac{\vec{X} \circ \vec{n_{E}} - d}{| \vec{n_{E}} |} = 0

d

ist das Ergebnis des Skalarprodukts aus

\vec{n_{E}}

und dem Ortsvektor des Aufpunkts von

E

E_{A B C D}^{H N F} : \frac{\vec{x} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) - 9}{| (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) |} = 0

E_{A B C D}^{H N F} : \frac{\vec{x} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) - 9}{\sqrt{{(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})}^{2}}} = 0

E_{A B C D}^{H N F} : \frac{\vec{x} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) - 9}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = 0

E_{A B C D}^{H N F} : \frac{\vec{x} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) - 9}{3} = 0

Abstand des Punktes

S_{t}

zur Ebene bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Abstand Punkt - Ebene

Durch Einsetzen der Koordinaten eines Punktes

S

in die Hesse-Normalenform

E^{H N F}

der Ebene

E

(zwischen Betragsstriche), bestimmt man den Abstand des Punktes zur Ebene.

E^{H N F} : \frac{\vec{X} \circ \vec{n_{E}} - d}{| \vec{n_{E}} |} = 0

\Rightarrow d (S, E) = | \frac{\vec{S} \circ \vec{n_{E}} - d}{| \vec{n_{E}} |} |

d

ist das Ergebnis des Skalarprodukts aus

\vec{n_{E}}

und dem Ortsvektor des Aufpunkts von

E

d (S_{t}) = | E^{H N F} (S_{t}) |

= | \frac{(\begin{matrix} 1 - t \\ 8 \\ t \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) - 9}{3} |

= | \frac{2 (1 - t) + 16 + t - 9}{3} |

= | \frac{9 - t}{3} |

= \frac{1}{3} | 9 - t |

Die Höhe

h (t)

ist also gleich:

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Die Grundfläche des Parallelflachs liegt in der Ebene

E_{A B C D}

. Die Höhe des Parallelflachs ist also gleich dem Abstand des Punktes

S_{t}

von der Ebene

E_{A B C D}

h (t) = \frac{1}{3} | 9 - t |

Volumen eines Prismas

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Grundfläche des Parallelflachs ist das Quadrat

A B C D

G = {\bar{A B}}^{2} = 6^{2} = 36

(siehe Teilaufgabe 1b)

Das Volumen des Parallelflachs ist dann gleich:

V = 36 \cdot h (t) = 36 \cdot \frac{1}{3} | 9 - t | = 12 \cdot | 9 - t |

Es soll gelten:

V = 144

\Rightarrow 12 \cdot | 9 - t | = 144

| 9 - t | = 12

\pm (9 - t) = 12

\Rightarrow t_{1} = - 3

und

t_{2} = 21

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 2d

Teilaufgabe 3

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Abstand Punkt - Ebene

Volumen eines Prismas

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die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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