Lösung Abitur Bayern 2007 Mathematik LK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2e (5 BE)

Die Ecken der Pyramide

Π_{t}

liegen auf einer Kugel (Umkugel) mit dem Mittelpunkt

M (m_{1} | m_{2} | m_{3})

und dem Radius

r

.
Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass gilt:

m_{2} = \frac{t}{2}

.
Geben Sie

m_{1}

sowie

m_{3}

an und berechnen Sie

r

Lösung zu Teilaufgabe 2e

Lage eines Punktes

Der Mittelpunkt der Kugel die durch die Punkte

O

und

B_{t}

liegt auf der mittelsenkrechten Ebene

E_{M}

\Rightarrow m_{2} = \frac{t}{2},

denn

x_{2}^{B_{t}} = t

Der Mittelpunkt der Kugel die durch die Punkte

O

und

A_{t}

liegt auf der mittelsenkrechten Ebene

E_{M}

\Rightarrow m_{1} = \frac{t}{4},

denn

x_{1}^{A_{t}} = \frac{t}{2}

Der Mittelpunkt der Kugel die durch die Punkte

O

und

C_{t}

liegt auf der mittelsenkrechten Ebene

E_{M}

\Rightarrow m_{3} = - \frac{t}{4},

denn

x_{3}^{C_{t}} = - \frac{t}{2}

\Rightarrow M (\frac{t}{4} | t | - \frac{t}{4})

\Rightarrow r = d (O, M) = | \vec{O M} | = | (\begin{matrix} \frac{t}{4} \\ \frac{t}{2} \\ - \frac{t}{4} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} \frac{t}{4} \\ \frac{t}{2} \\ - \frac{t}{4} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{\frac{t^{2}}{16} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t^{2}}{16}} = \sqrt{\frac{6}{16} t^{2}} = \frac{t}{4} \sqrt{6}

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Teilaufgabe 2d

Teilaufgabe 2e

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Themen dieser Aufgabe:

Lage eines Punktes

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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