Lösung Abitur Bayern 2007 Mathematik LK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1c (6 BE)

Die Ebene

L

enthält die

x_{2}

-Achse und ist Lotebene zur Ebene

E_{t}

.
Ermitteln Sie eine Gleichung von

L

in Normalenform und geben Sie eine Gleichung der Schnittgeraden

s_{t}

von

L

und

E_{t}

in Parameterform an.
[mögliches Teilergebnis:

x_{1} + x_{3} = 0

]

Lösung zu Teilaufgabe 1c

Ebenengleichung in Normalenform

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Ebene

L

ist Lotebene von

E_{t}

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Erläuterung

Die Ebene

L

ist Lotebene von

E_{t}

, also ist

{\vec{n}}_{E_{t}}

ein Richtungsvektor von

L

.

Die Ebene

L

enthält die

x_{2}

-Achse, also ist

{\vec{x}}_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

ein Richtungsvektor von

L

und jeder Punkt auf der

x_{2}

-Achse ein Ortsvektor von

L

\Rightarrow {\vec{a}}_{L} = {\vec{n}}_{E_{t}} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix})

1° Richtungsvektor von

L

\Rightarrow {\vec{b}}_{L} = {\vec{x}}_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

2° Richtungsvektor von

L

\Rightarrow {\vec{x}}_{0_{L}} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Ortsvektor von

L

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Ebenengleichung

Eine Ebene E ist durch einen Ortsvektor

\vec{x_{0}}

und zwei Richtungsvektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

eindeutig bestimmt. Die Ebenengleichung lautet

E : \vec{x} = \vec{x_{0}} + α \cdot \vec{a} + β \cdot \vec{b}

α, β \in ℝ

\Rightarrow L : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + μ (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + γ (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix})

\Rightarrow

Normalenvektor der Ebene

L : {\vec{n}}_{L} = {\vec{a}}_{L} \times {\vec{b}}_{L} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}) =

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Vektorprodukt

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} det (\begin{matrix} a_{2} & b_{2} \\ a_{3} & b_{3} \end{matrix}) \\ det (\begin{matrix} a_{3} & b_{3} \\ a_{1} & b_{1} \end{matrix}) \\ det (\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix}) \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} \\ a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} \\ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \end{matrix})

= (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

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Normalenform einer Ebene

Die Parameterform einer Ebene

E

lautet:

\vec{x} = \vec{x_{0}} + α \cdot \vec{a} + β \cdot \vec{b}

,

wobei

\vec{x_{0}}

der Ortsvektor ist.

Die Normalenform einer Ebene

E

entsteht durch Skalarprodukt mit dem Normalenvektor

\vec{n_{E}}

. Dieser steht senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

der Ebene

E

. Das Skalarprodukt zwischen 2 Vektoren, die senkrecht zueinander stehen, ist gleich

0

.

Es folgt also:

E : \vec{x} \cdot \vec{n_{E}} = (\vec{x_{0}} + α \cdot \vec{a} + β \cdot \vec{b}) \cdot \vec{n_{E}}

= \vec{x_{0}} \cdot \vec{n_{E}} + α \cdot \underset{= 0}{\underset{︸}{\vec{a} \cdot \vec{n_{E}}}} + β \cdot \underset{= 0}{\underset{︸}{\vec{b} \cdot \vec{n_{E}}}}

= \vec{x_{0}} \cdot \vec{n_{E}}

\Rightarrow

Normalenform der Ebene

L^{N} : \vec{x} \cdot {\vec{n}}_{L} = \vec{x} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = 0 \Leftrightarrow x_{1} + x_{3} = 0

Schnitt zweier Ebenen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Gesucht ist

s_{t} = E_{t} \cap L

E_{t} : 2 x_{1} + x_{2} - 2 x_{3} = t

L : x_{1} + x_{3} = 0 \Rightarrow x_{1} = - x_{3}

(1)

\begin{matrix} \Rightarrow \\ (1) in E_{t} \end{matrix} 2 (- x_{3}) + x_{2} - 2 x_{3} = t \Leftrightarrow x_{2} = t + 4 x_{3}

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Schnitt zweier Ebenen

Beim Schnitt zweier Ebenen in Normalform ist ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Variablen zu lösen.
Die zwei Gleichungen sind die Ebenengleichungen in Normalform, die drei Variablen sind

x_{1}, x_{2}

und

x_{3}

.

Für die Lösung müssen zwei Variablen jeweils durch die dritte ausgedrückt werden.

In dieser Aufgabe werden

x_{1}

und

x_{2}

durch

x_{3}

ausgedrückt.

\begin{matrix} x_{1} & = & - x_{3} \\ \Rightarrow & x_{2} & = & t + 4 x_{3} \\ x_{3} & = & x_{3} \end{matrix}

Schnittgerade

s_{t} : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ t \\ 0 \end{matrix}) + τ (\begin{matrix} - 1 \\ 4 \\ 1 \end{matrix})

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

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Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 2d

Teilaufgabe 2e

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Themen dieser Aufgabe:

Ebenengleichung in Normalenform

Schnitt zweier Ebenen

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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