Lösung Abitur Bayern 2007 Mathematik LK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2c (4 BE)

Die Ebene

F : 2 x_{2} = t

liegt parallel zu einer Seitenfläche und zerlegt

Π_{t}

in zwei Teilkörper. Berechnen Sie das Verhältnis ihrer Volumina.

Lösung zu Teilaufgabe 2c

Verhältnis der Rauminhalte von Teilkörpern

F : 2 x_{2} = t \Leftrightarrow F : x_{2} = \frac{t}{2}

V^{'} = \frac{1}{3} \cdot G^{'} \cdot h^{'} = \frac{1}{3} \cdot G^{'} \cdot \frac{t}{2}

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Die Punkte

A_{t}^{'}, B_{t}^{'}

und

C_{t}^{'}

sind die Mittelpunkte der Strecken

\bar{A_{t} B_{t}}, \bar{O B_{t}}

und

\bar{B_{t} C_{t}}

\vec{O B_{t}^{'}} = \frac{1}{2} \vec{O B_{t}} = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 0 \\ t \\ 0 \end{matrix}) \Rightarrow B_{t}^{'} (0 | \frac{t}{2} | 0)

\vec{O A_{t}^{'}} = \vec{O A_{t}} + \frac{1}{2} \vec{A_{t} B_{t}} = (\begin{matrix} \frac{t}{2} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + \frac{1}{2} (\begin{matrix} - \frac{t}{2} \\ t \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{t}{4} \\ \frac{t}{2} \\ 0 \end{matrix}) \Rightarrow A_{t}^{'} (\frac{t}{4} | \frac{t}{2} | 0)

\vec{O C_{t}^{'}} = \vec{O C_{t}} + \frac{1}{2} \vec{C_{t} B_{t}} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - \frac{t}{2} \end{matrix}) + \frac{1}{2} (\begin{matrix} 0 \\ t \\ \frac{t}{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ \frac{t}{2} \\ - \frac{t}{4} \end{matrix}) \Rightarrow C_{t}^{'} (0 | \frac{t}{2} | - \frac{t}{4})

Grundfläche

G^{'}

bestimmen:

G^{'} = \frac{1}{2} \cdot \bar{B_{t}^{'} C_{t}^{'}} \cdot \bar{A_{t}^{'} B_{t}^{'}}

= \frac{1}{2} \cdot | (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - \frac{t}{4} \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} - \frac{t}{4} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) |

= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{{(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - \frac{t}{4} \end{matrix})}^{2}} \cdot \sqrt{{(\begin{matrix} - \frac{t}{4} \\ 0 \\ 0 \end{matrix})}^{2}}

= \frac{1}{2} \cdot \frac{t}{4} \cdot \frac{t}{4}

= \frac{t^{2}}{32}

Volumen

V^{'}

bestimmen:

\Rightarrow V^{'} = \frac{1}{3} \cdot \frac{t^{2}}{32} \cdot \frac{t}{2} = \frac{t^{3}}{192}

Verhältnis bestimmen:

\Rightarrow \frac{V^{'}}{V_{R e s t}} = \frac{V^{'}}{V_{Π} - V^{'}} = \frac{\frac{t^{3}}{192}}{\frac{t^{3}}{24} - \frac{t^{3}}{192}} = \frac{1}{7}

Das Verhältnis der Volumina der zwei Teilkörper ist

\frac{1}{7}

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 2d

Teilaufgabe 2e

Lösung als Video:

Lösung als Video

Themen dieser Aufgabe:

Verhältnis der Rauminhalte von Teilkörpern

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

Feedback:

Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?