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Abitur 2007 Mathematik LK Analytische Geometrie VI

In einem kartesischen Koordinatensystem des ℝ 3 ist die Ebenenschar
E t : x → = ( 0 t 0 ) + λ ⋅ ( 1 - 2 0 ) + τ ⋅ ( 0 2 1 ) mit λ , τ ∈ ℝ und t ∈ ℝ gegeben.
Teilaufgabe 1a  (5 BE)
Bestimmen Sie eine Gleichung von E t in Normalenform. Begründen Sie, dass alle Ebenen der Schar zueinander parallel sind.
[mögliches Teilergebnis: E t : 2 x 1 + x 2 - 2 x 3 - t = 0 ]

Teilaufgabe 1b  (3 BE)
Berechnen Sie den Winkel ϕ , unter dem jede Ebene der Schar E t die x 1 x 2 -Ebene schneidet, auf eine Dezimale gerundet.

Teilaufgabe 1c  (6 BE)
Die Ebene L enthält die x 2 -Achse und ist Lotebene zur Ebene E t .
Ermitteln Sie eine Gleichung von L in Normalenform und geben Sie eine Gleichung der Schnittgeraden s t von L und E t in Parameterform an.
[mögliches Teilergebnis: x 1 + x 3 = 0 ]

Die Ebene E t schneidet die x 1 -Achse im Punkt A t , die x 2 -Achse im Punkt B t und die x 3 -Achse im Punkt C t . Diese Punkte und der Ursprung O sind für t ≠ 0 die Ecken einer Pyramide Π t .
Teilaufgabe 2a  (5 BE)
Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte A t , B t und C t und zeichnen Sie in einem Koordinatensystem (vgl. Skizze) für t = - 8 die Pyramide Π 8 ein.
[Teilergebnis: A t ( t 2 | 0 | 0 ) ; B t ( 0 | t | 0 ) ; C t ( 0 | 0 | - t 2 ) ]

Teilaufgabe 2b  (7 BE)
Zeigen Sie, dass die Pyramide Π t den Oberflächeninhalt t 2 besitzt, und ermitteln Sie das Volumen V t von Π t in Abhängigkeit von t .

Teilaufgabe 2c  (4 BE)
Die Ebene F : 2 x 2 = t liegt parallel zu einer Seitenfläche und zerlegt Π t in zwei Teilkörper. Berechnen Sie das Verhältnis ihrer Volumina.

Teilaufgabe 2d  (5 BE)
Zeigen Sie, dass die Kugel K mit dem Mittelpunkt N ( t 8 | t 8 | t 8 ) und dem Radius ρ t = | t | 8 die Inkugel der Pyramide Π t ist, also alle Begrenzungsflächen von Π t von innen berührt.

Teilaufgabe 2e  (5 BE)
Die Ecken der Pyramide Π t liegen auf einer Kugel (Umkugel) mit dem Mittelpunkt M ( m 1 | m 2 | m 3 ) und dem Radius r .
Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass gilt: m 2 = t 2 .
Geben Sie m 1 sowie m 3 an und berechnen Sie r .

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Lösungen zu:
Teilaufgabe 1a
Teilaufgabe 1b
Teilaufgabe 1c
Teilaufgabe 2a
Teilaufgabe 2b
Teilaufgabe 2c
Teilaufgabe 2d
Teilaufgabe 2e
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