Lösung Abitur Bayern 2007 Mathematik LK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1b (3 BE)

Berechnen Sie den Winkel

ϕ

, unter dem jede Ebene der Schar

E_{t}

die

x_{1} x_{2}

-Ebene schneidet, auf eine Dezimale gerundet.

Lösung zu Teilaufgabe 1b

Winkel zwischen zwei Vektoren

E_{t}^{N} : \vec{x} \underset{\vec{n_{E}}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix})}} = t

E_{x_{1} x_{2}}^{N} : \vec{x} \underset{\vec{n_{x_{1} x_{2}}}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})}} = 0

Schritt einblenden / ausblenden

\vec{n_{E}} \cdot \vec{n_{x_{1} x_{2}}} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = - 2

Schritt einblenden / ausblenden

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

und

\vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})

ergibt sich aus der Summe der Komponenten der Vektoren:

\vec{a} \cdot \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}

Aus der allgemeinen Definition des Skalarproduktes folgt:

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | = \cos \underset{α}{\underset{︸}{∡ (\vec{a}, \vec{b})}}

\Rightarrow \cos α = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}

\Rightarrow \cos ϕ = \frac{\vec{n_{E}} \cdot \vec{n_{x_{1} x_{2}}}}{| \vec{n_{E}} | \cdot | \vec{n_{x_{1} x_{2}}} |} = \frac{- 2}{\sqrt{{(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix})}^{2}} \cdot \sqrt{{(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})}^{2}}} = - \frac{2}{3}

\Rightarrow \hat{ϕ} = \arccos \frac{2}{3} = 48, 2^{\circ}

\hat{ϕ}

ist der spitze Winkel zwischen den zwei Ebenen

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

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Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 2d

Teilaufgabe 2e

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Themen dieser Aufgabe:

Winkel zwischen zwei Vektoren

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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