Lösung Abitur Bayern 2007 Mathematik LK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1a (5 BE)

In einem kartesischen Koordinatensystem des

ℝ^{3}

ist die Ebenenschar

E_{t} : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ t \\ 0 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix}) + τ \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})

mit

λ, τ \in ℝ

und

t \in ℝ

gegeben.

Bestimmen Sie eine Gleichung von

E_{t}

in Normalenform. Begründen Sie, dass alle Ebenen der Schar zueinander parallel sind.
[mögliches Teilergebnis:

E_{t} : 2 x_{1} + x_{2} - 2 x_{3} - t = 0

]

Lösung zu Teilaufgabe 1a

Ebenengleichung in Normalenform

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

E_{t} : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ t \\ 0 \end{matrix}) + λ \cdot \underset{\vec{a}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix})}} + τ \cdot \underset{\vec{b}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})}}

Normalenvektor

\vec{n_{E}}

der Ebene

E_{t}

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Vektorprodukt

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

\vec{a} \times \vec{b}

zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

ist ein Vektor

\vec{n}

, der senkrecht auf der von beiden Vektoren aufgespannte Ebene steht.

Für die komponentenweise Berechnung gilt:

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} \cdot b_{3} - a_{3} \cdot b_{2} \\ a_{3} \cdot b_{1} - a_{1} \cdot b_{3} \\ a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \end{matrix})

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

\Rightarrow

\vec{n_{E}} = - 1 \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix})

Ebenengleichung in Normalenform bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Normalenform einer Ebene

Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt

P

aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt.

E : \vec{n_{E}} \circ \vec{X} = \vec{n_{E}} \circ \vec{P}

E_{t} : (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}) \circ \vec{X} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 0 \\ t \\ 0 \end{matrix})

E_{t} : 2 x_{1} + x_{2} - 2 x_{3} = 0 + t + 0

E_{t} : 2 x_{1} + x_{2} - 2 x_{3} - t = 0

Lagebeziehung von Ebenen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Alle Ebenen der Schar sind zueinander parallel, weil sie den gleichen Normalenvektor

\vec{n_{E}}

besitzen. Nur der Ortsvektor ist von

t

abhängig, d.h. die Ebenen unterscheiden sich in ihrem Abstand vom Ursprung

O

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Teilaufgabe 2d

Teilaufgabe 2e

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Themen dieser Aufgabe:

Ebenengleichung in Normalenform

Lagebeziehung von Ebenen

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