Lösung Abitur Bayern 2007 Mathematik LK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2b (7 BE)

Zeigen Sie, dass die Pyramide

Π_{t}

den Oberflächeninhalt

t^{2}

besitzt, und ermitteln Sie das Volumen

V_{t}

von

Π_{t}

in Abhängigkeit von

t

Lösung zu Teilaufgabe 2b

Oberfläche einer Pyramide

Oberflächeninhalt der Pyramide:

O_{Π} = △_{B_{t} O C_{t}} + △_{A_{t} O C_{t}} + △_{A_{t} O B_{t}} + △_{A_{t} B_{t} C_{t}}

△_{B_{t} O C_{t}} = \frac{1}{2} \cdot t \cdot | - \frac{t}{2} | = \frac{t^{2}}{4}

△_{A_{t} O C_{t}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{t}{2} \cdot | - \frac{t}{2} | = \frac{t^{2}}{8}

△_{A_{t} O B_{t}} = \frac{1}{2} \cdot t \cdot \frac{t}{2} = \frac{t^{2}}{4}

Schritt einblenden / ausblenden

Vektorprodukt

Der Vektor

\vec{a} \times \vec{b}

steht senkrecht auf

\vec{a}

und auf

\vec{b}

. Seine Länge

| \vec{a} \times \vec{b} |

entspricht der Fläche des durch

\vec{a}

und

\vec{b}

aufgespannten Parallelogramms.

\Rightarrow △_{A B C} = \frac{1}{2} | \vec{a} \times \vec{b} |

△_{A_{t} B_{t} C_{t}} = \frac{1}{2} | \vec{C_{t} B_{t}} \times \vec{C_{t} A_{t}} | = \frac{1}{2} | (\begin{matrix} 0 \\ t \\ \frac{t}{2} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} \frac{t}{2} \\ 0 \\ \frac{t}{2} \end{matrix}) | =

Schritt einblenden / ausblenden

Vektorprodukt

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} det (\begin{matrix} a_{2} & b_{2} \\ a_{3} & b_{3} \end{matrix}) \\ det (\begin{matrix} a_{3} & b_{3} \\ a_{1} & b_{1} \end{matrix}) \\ det (\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix}) \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} \\ a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} \\ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \end{matrix})

= \frac{1}{2} | (\begin{matrix} \frac{t^{2}}{2} \\ \frac{t^{2}}{4} \\ - \frac{t^{2}}{2} \end{matrix}) | = \frac{1}{2} \sqrt{{(\begin{matrix} \frac{t^{2}}{2} \\ \frac{t^{2}}{4} \\ - \frac{t^{2}}{2} \end{matrix})}^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{t^{4}}{4} + \frac{t^{4}}{16} + \frac{t^{4}}{4}} = \frac{3}{8} t^{2}

\Rightarrow O_{Π} = \frac{t^{2}}{4} + \frac{t^{2}}{8} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{3}{8} t^{2} = t^{2}

Volumen einer Pyramide

V_{Π} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot △_{A_{t} 0 C_{t}} \cdot | \vec{O B_{t}} | = \frac{1}{3} \cdot \frac{t^{2}}{8} \cdot t = \frac{t^{3}}{24}

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Themen dieser Aufgabe:

Oberfläche einer Pyramide

Volumen einer Pyramide

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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