Lösung Abitur Bayern 2004 Mathematik LK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3b (7 BE)

Die Ebenenschar

E_{t}

enthält neben der

x_{1} x_{3}

-Ebene eine weitere Tangentialebene von K. Berechnen Sie den zugehörigen Wert von t.

Lösung zu Teilaufgabe 3b

Tangentialebene

Die Ebenen E aus der Ebenenschar

E_{t}

, die Tangentialebenen sind, haben einen Abstand von 1,2 zum Mittelpunkt M(1,2|1,2|1,2) der Kugel.

E_{t} : \overset{⇀}{x} (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ t \end{matrix}) - 3 t = 0

in Hesse-Normalform:

E_{t} : \frac{\overset{⇀}{x} (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ t \end{matrix}) - 3 t}{\sqrt{9 + t^{2}}} = 0

\Rightarrow \frac{(\begin{matrix} 1, 2 \\ 1, 2 \\ 1, 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ t \end{matrix}) - 3 t}{\sqrt{9 + t^{2}}} = 1, 2

3,6 + 1,2t - 3t =

1, 2 · \sqrt{9 + t^{2}}

3,6 - 1,8t =

1, 2 · \sqrt{9 + t^{2}}

| · \frac{10}{6}

6 - 3t =

2 · \sqrt{9 + t^{2}}

|^{2}

36 - 36t +

9 t^{2}

= 36 +

4 t^{2}

9 t^{2}

- 36t =

4 t^{2}

5 t^{2}

- 36t = 0

t(5t - 36) = 0

t_{1} = 0

t_{2} = \frac{36}{5}

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Teilaufgabe 3b

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Themen dieser Aufgabe:

Tangentialebene

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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