Lösung Abitur Bayern 2004 Mathematik LK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1a (3 BE)

In einem kartesischen Koordinatensystem des

R^{3}

sind die Punkte O(0|0|0), A(10|0|0), B(0|4|0), S(0|0|6) sowie die Ebenenschar

E_{t} : 3 x_{2} + {tx}_{3} - 3 t = 0

mit

t \in R

gegeben. Die Punkte A, B und S legen die Ebene F fest.

Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene F in Normalenform.
[mögliches Ergebnis:

6 x_{1} + 15 x_{2} + 10 x_{3} - 60 = 0

Lösung zu Teilaufgabe 1a

Ebenengleichung in Normalenform

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Ebene

F_{ABS}

in Parameterform:

Schritt einblenden / ausblenden

Ebenengleichung

Ebene aus 3 Punkten in Parameterform:

Punkte A, B und S

E^{P} : \overset{⇀}{x} = \overset{⇀}{a} + α (\overset{⇀}{b} - \overset{⇀}{a}) + β (\overset{⇀}{s} - \overset{⇀}{a})

F^{P} : \overset{⇀}{x} = (\begin{matrix} 10 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + α (\begin{matrix} - 10 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) + β (\begin{matrix} - 10 \\ 0 \\ 6 \end{matrix})

Ebene

F_{ABS}

in Normalform:

Schritt einblenden / ausblenden

Ebenengleichung

Finden des Normalenvektors durch gezieltes Probieren:

Der Normalenvektor der Ebene verläuft senkrecht zu beiden Richtungsvektoren. Das Skalarprodukt aus Richtungsvektor und Normalenvektor ist also jeweils 0.

I:

(\begin{matrix} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 10 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) = 0

II:

(\begin{matrix} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 10 \\ 0 \\ 6 \end{matrix}) = 0

Setzt man

n_{1} = 4

und

n_{2} = 10

kann

n_{3}

in I beliebig belegt werden, um 0 als Ergebnis des Skalarprodukts zu erhalten.

n_{3}

wird durch II bestimmt.

in II:

(\begin{matrix} 4 \\ 10 \\ n_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 10 \\ 0 \\ 6 \end{matrix}) = 0

-40 + 0 +

6 n_{3}

= 0

6 n_{3}

= 40

n_{3}

\frac{20}{3}

Normalenvektor

\overset{⇀}{n}

der Ebene F:

\overset{⇀}{n} = (\begin{matrix} 4 \\ 10 \\ \frac{20}{3} \end{matrix})

Skalarprodukt aus Punktvektor der Ebene und Normalenvektor:

(\begin{matrix} 10 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 10 \\ \frac{20}{3} \end{matrix}) = 40

Ebenengleichung der Ebene

F_{ABS}

in Normalform:

F_{ABS}^{N} : 4 x_{1} + 10 x_{2} + \frac{20}{3} x_{3} = 40 | · \frac{3}{2}

F_{ABS}^{N} : 6 x_{1} + 15 x_{2} + 10 x_{3} = 60

F_{ABS}^{N} : 6 x_{1} + 15 x_{2} + 10 x_{3} = 60

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Themen dieser Aufgabe:

Ebenengleichung in Normalenform

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