Lösung Abitur Bayern 2003 Mathematik LK Stochastik IV

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3c (4 BE)

Zeigen Sie, dass gilt:

E_{n + 1} (X) - E_{n} (X) = {(\frac{1}{2})}^{n - 1}

Lösung zu Teilaufgabe 3c

Bestätigung einer Behauptung

Die berechneten Erwartungswerte

E_{2} (x) = 4 · 2 · 0, 5^{2} = 2

E_{3} (x) = 2 · 2 · 0, 5^{2} + 4 · 3 · 0, 5^{3} = 2 + 0, 5^{1}

E_{4} (x) = 2 · 2 · 0, 5^{2} + 2 · 3 · 0, 5^{3} + 4 · 4 · 0, 5^{4} = 2 + 0, 5^{1} + 0, 5^{2}

lassen folgendes Bildungsgesetz erkennen:

E_{n} (x) = 2 + \sum_{j = 1}^{n - 2} 0, 5^{j}

(Bemerkung:

\sum_{i = 1}^{n = 0} 0, 5^{j} = 0

)

\Rightarrow E_{n + 1} (x) = 2 + \sum_{j = 1}^{n - 1} 0, 5^{j}

Die Differenz zweier benachbarter Erwartungswerte

E_{n + 1} (x)

und

E_{n} (x)

beträgt:

E_{n + 1} (x) - E_{n} (x)

= \sum_{j = 1}^{n - 1} 0, 5^{j} - \sum_{j = 1}^{n - 2} 0, 5^{j}

= (0, 5^{n - 1} + \sum_{j = 1}^{n - 2} 0, 5^{j}) - \sum_{j = 1}^{n - 2} 0, 5^{j}

= 0, 5^{n - 1} = {(\frac{1}{2})}^{n - 1}

Die Differenz ist

{(\frac{1}{2})}^{n - 1}

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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