Lösung Abitur Bayern 2003 Mathematik LK Stochastik IV

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1c (6 BE)

Ermitteln Sie mit Hilfe der Ungleichung von Tschebyschow eine möglichst kleine obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit, bei 1000 Würfen einer Laplace-Münze wenigstens 600-mal Zahl zu erhalten. Vergleichen Sie diesen Wert mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe 1a und nehmen Sie dazu kurz Stellung.

Lösung zu Teilaufgabe 1c

Tschebyschow Ungleichung

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Abschätzung nach außen:

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Tschebyschow Ungleichung

Tschebyschow Ungleichung:

P (| x - μ | \geq a) \leq \frac{σ^{2}}{a^{2}}

mit

μ = n · p

σ^{2} = n · p · q

μ = n · p = 1000 · 0, 5 = 500

σ^{2} = n · p · q = 1000 · 0, 5 · 0, 5 = 250

a = 600 - μ = 100

Tschebyschow-Abschätzung nach außen:

P (| x - 500 | \geq 100) \leq \frac{250}{100^{2}}

\Rightarrow P (| x - 500 | \geq 100) \leq 2, 5 %

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Erläuterung

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass

x \geq 600

.

Die Tschebyschow-Ungleichung liefert eine Abschätzung für

| x - 500 | \geq 100 \Rightarrow x \geq 600

oder

x \leq 400

.

Um nur den einen Teilbereich zu erhalten muss man die abgeschätzte Wahrscheinlichkeit halbieren:

\Rightarrow P_{0, 5}^{1000} (x \geq 600) \leq \frac{2, 5 %}{2} = 1, 25 %

Die Tschebyschow Ungleichung liefert einen Wert von 1,25%.
Die Tschebyschow Ungleichung ist jedoch nur eine grobe Abschätzung der Wahrscheinlichkeit. Daraus resultiert der Unterschied zum berechneten Wert aus Aufgabe 1a (0,3%).

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Tschebyschow Ungleichung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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