Lösung Abitur Bayern 2003 Mathematik LK Stochastik IV

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1d (5 BE)

Aufgrund des Zeitungsartikels führte ein Schüler eine eigene Versuchsreihe durch. Er ließ eine 2-Euro-Münze 250-mal auf dem Tisch kreiseln; dabei blieb 139-mal Zahl oben.
Stellen Sie durch Näherung mit der Normalverteilung fest, ob dieses Ergebnis auf einem Niveau von 5 % signifikant dafür ist, dass bei dieser Münze häufiger Zahl oben liegen bleibt als bei einer Laplace-Münze.

Lösung zu Teilaufgabe 1d

Hypothesentest - Annahmebereich und Ablehnungsbereich

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Hypothesentest mit kritischer Zahl k:

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P_{0, 5}^{250} (Z \geq k + 1) = 1 - P_{0, 5}^{250} (Z \leq k)

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Normalverteilung

Näherung durch die Normalverteilung:

P_{p}^{n} (Z \leq k) = Φ (\frac{k + 0, 5 - n · p}{\sqrt{n · p · q}})

= 1 - Φ (\frac{k + 0, 5 - 250 · 0, 5}{\sqrt{250 · 0, 5 · 0, 5}})

1 - Φ (\frac{k + 0, 5 - 250 · 0, 5}{\sqrt{250 · 0, 5 · 0, 5}}) \leq 0, 05

\Rightarrow Φ (\frac{k + 0, 5 - 250 · 0, 5}{\sqrt{250 · 0, 5 · 0, 5}}) \geq 0, 95

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Erläuterung

Den Quantilen des stochastischen Tafelwerkes entnimmt man:

0, 95 = Φ (1, 645)

\Rightarrow Φ (\frac{k + 0, 5 - 250 · 0, 5}{\sqrt{250 · 0, 5 · 0, 5}}) \geq Φ (1, 645)

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Erläuterung

Die Funktion

Φ (x)

ist streng monoton steigend und stetig. Daraus ergibt sich:

Φ (a) \geq Φ (b) \Rightarrow a \geq b

\Rightarrow \frac{k + 0, 5 - 250 · 0, 5}{\sqrt{250 · 0, 5 · 0, 5}} \geq 1, 645

\Rightarrow k \geq 137, 5

\Rightarrow k \geq 138

Der Annahmebereich für

p_{0} = 0, 5

ist A = {0, 1, 2, ..., 138}.

139 \notin A

:

Die Nullhypothese kann abgelehnt werden.

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Themen dieser Aufgabe:

Hypothesentest - Annahmebereich und Ablehnungsbereich

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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