Lösung Abitur Bayern 2025 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B e (6 BE)

Es gibt einen Wert von

k

, für den der Flächeninhalt des Dreiecks

{BDQ}_{k}

minimal ist. Ermitteln Sie diesen Wert.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B e

Abstand Punkt - Gerade

Die Eckpunkte

B

und

D

des Dreiecks

B D Q_{k}

sind fix.

Der Vektor aus dem Mittelpunkt der Strecke

[B D]

und dem Punkt

Q_{k}

bildet die Höhe des Dreiecks

B D Q_{k}

. Diese Höhe muss für den minimalen Flächeninhalt des Dreiecks

B D Q_{k}

minimal sein. Dies wird die Höhe, wenn gilt:

\vec{S C} ⊥ F_{k} \Rightarrow λ \cdot \vec{S C} = \vec{n_{F}}

\vec{S C} = \vec{O C} - \vec{O S} = (\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ - 6 \end{matrix})

(\begin{matrix} 0 \\ k \\ k - 2 \end{matrix}) = λ \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ - 6 \end{matrix})

k = λ \cdot 6

k - 2 = - 6 λ

\Rightarrow 6 λ - 2 = 6 λ

12 λ = 2

\Rightarrow λ = \frac{1}{6}

\Rightarrow k = 1

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Teilaufgabe Teil B e

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Abstand Punkt - Gerade

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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