Lösung Abitur Bayern 2025 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B a (4 BE)

Die Abbildung zeigt die Pyramide

ABCDS

. Ihre Grundfläche

ABCD

ist ein Drachenviereck mit den Eckpunkten

A (0 | 0 | 0)

B (2 | 2 | 0)

C (0 | 6 | 0)

und

D (- 2 | 2 | 0)

. Der Punkt

S (0 | 0 | 6)

ist die Spitze der Pyramide.

Berechnen Sie die kleinste Kantenlänge sowie das Volumen der Pyramide

ABCDS

Lösung zu Teilaufgabe Teil B a

Länge eines Vektors

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Die kleinste Kantenlänge ist die Kante

[A B]

| \vec{A B} | = | (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) | = | (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) | \sqrt{4 + 4 + 0} = 2 \sqrt{2}

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

Um das Volumen der Pyramide

A B C D S

zu bestimmen nutzt man folgende Formel:

V_{P} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

\Rightarrow V_{P} = \frac{1}{3} \cdot (2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2) \cdot 6 = 24

Schritt einblenden / ausblenden

Volumen einer Pyramide

Eine Pyramide mit Grundfläche

G

und Höhe

h

hat ein Volumen von:

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

Hier ist die Grundfläche zusammengesetzt aus zwei Dreiecken:

Die Grundseite

a

des Dreiecks besitzt die Länge

6

.

Die Höhe auf die Grundseite

h_{a}

des Dreiecks besitzt die Länge

2

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Teilaufgabe Teil B e

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Länge eines Vektors

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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