Lösung Abitur Bayern 2024 Mathematik Stochastik III

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 2 (4 BE)

Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X, die nur die Werte 1, 2, 3, 4 und 5 annehmen kann.

Die Wahrscheinlichkeiten

P (X = 4)

und

P (X = 5)

sowie der Erwartungswert und die Varianz von X sind bekannt. Aus diesen Informationen ergibt sich das folgende Gleichungssystem, mit dem die fehlenden Wahrscheinlichkeiten

p_{1}

p_{2}

und

p_{3}

berechnet werden können.

\begin{matrix} I & p_{1} + p_{2} + p_{3} = 0, 65 \\ II & p_{1} + 2 p_{2} + 3 p_{3} = 1, 45 \\ III & 4 p_{1} + p_{2} = 0, 6 \end{matrix}

Ermitteln Sie, ohne das Gleichungssystem zu lösen, welche Werte für den Erwartungswert und die Varianz von X beim Aufstellen des Gleichungssystems verwendet worden sind.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 2

Erwartungswert einer Zufallsgröße

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E (X) = \underset{1, 45}{\underset{︸}{p_{1} + 2 p_{2} + 3 p_{3}}} + 0, 8 + 0, 75 = 3

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Erwartungswert einer Zufallsgröße

Formel zur Bestimmung des Erwartungswerts:

E (X) = x_{1} \cdot p_{1} + x_{2} \cdot p_{2} + . . . + x_{n} \cdot p_{n}

V a r (X) = (1 - 3)^{2} \cdot p_{1} + (2 - 3)^{2} \cdot p_{2} + (3 - 3)^{2} \cdot p_{3} + (4 - 2)^{2} \cdot 0, 2 + (5 - 3)^{2} \cdot 0, 15 =

= \underset{0, 6}{\underset{︸}{4 p_{1} + p_{2}}} + 0, 2 + 0, 6 = 1, 4

Schritt einblenden / ausblenden

Varianz einer Zufallsgröße

V a r (X) = (x_{1} - E (X))^{2} \cdot p_{1} + (x_{2} - E (X))^{2} \cdot p_{2} + . . . + (x_{n} - E (X))^{2} \cdot p_{n}

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Themen dieser Aufgabe:

Erwartungswert einer Zufallsgröße

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die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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